REPRÉSENTATIONS p-ADIQUES ORDINAIRES DE GL_{2}(ℚ_{p}) ET COMPATIBILITÉ LOCAL-GLOBAL

par

Christophe Breuil & Matthew Emerton

Résumé. — On définit les représentations p-adiques de GL_{2}(ℚ_{p}) � correspondant � aux représentations potentiellement cristallines réductibles (et éventuellement scindées) de Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}) de dimension 2 et on montre qu’elles apparaissent naturellement dans la cohomologie étale complétée de la tour en p des courbes modulaires.

Abstract. — We define p-adic representations of GL_{2}(ℚ_{p}) � corresponding � to 2-dimensional reducible (and possibly split) potentially crystalline representations of Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}) and we show that they naturally arise in the completed étale cohomology of the tower at p of the modular curves.

Table des matières

1. Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Représentations ordinaires de GL_{2}(ℚ_{p}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. La conjecture de compatibilité local-global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Formes compagnons surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Les résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Appendice A. Preuve de la proposition 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Le premier auteur remercie A. Abbes, G. Chenevier, A. Iovita, C. Khare, M. Kurihara et A. Pál pour des discussions. Le deuxième auteur a bénéficié d’un soutien partiel de la NSF (grant DMS-0401545).

1. Introduction et notations

1.1. Soient p un nombre premier et K une extension finie de ℚ_{p}. À la suite des développements récents dans la théorie des représentations p-adiques de groupes p-adiques tels que GL_{n}(K) ([44], [45], [46], [22], [23], [25], etc.), la question s’est posée d’� associer � des représentations p-adiques de GL_{n}(K) aux représentations p-adiques de dimension n de Gal(\overline{ℚ_{p}}/K) (par exemple aux représentations potentiellement semi-stables de Fontaine), dans l’esprit d’une éventuelle correspondance locale à la Langlands. Initiée par l’exemple dans [7] et [8] (mais suggérée depuis longtemps par de nombreux mathématiciens), cette problématique a déjà connu un certain nombre de développements ([9], [18], [4], [19]) et a pris le nom générique de � correspondance locale de Langlands p-adique �. Cette nouvelle correspondance s’annonce malheureusement beaucoup plus délicate que sa grande soeur locale ℓ-adique et, pour cette raison, les résultats (ou même les conjectures) non triviaux obtenus pour l’instant se limitent tous à GL_{2}, et même GL_{2}(ℚ_{p}).

Dans cet article, nous nous proposons modestement d’explorer le cas, laissé jusqu’alors en suspens, des représentations p-adiques de GL_{2}(ℚ_{p}) correspondant aux représentations potentiellement cristallines de dimension 2 réductibles (et éventuellement scindées) de Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}). Nous définissons de telles représentations de GL_{2}(ℚ_{p}) pour la plupart de ces représentations potentiellement cristallines. Nous montrons ensuite que, lorsque la représentation galoisienne provient d’une forme modulaire, alors la représentation associée de GL_{2}(ℚ_{p}) apparaît naturellement (avec la représentation galoisienne) dans la cohomologie étale complétée des courbes modulaires. C’est là le résultat de � compatibilité local-global � principal de l’article. Concrètement, il s’agit de montrer que l’on peut détecter côté GL_{2}(ℚ_{p}) dans la cohomologie si la représentation de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) associée à la forme modulaire considérée est scindée ou non en p. Pour cela, nous utilisons deux ingrédients : d’une part les théorèmes de comparaison p-adiques (pour les représentations galoisiennes associées aux formes modulaires) et d’autre part la théorie p-adique du foncteur de Jacquet de l’un d’entre nous.

Décrivons maintenant plus précisément le contenu de l’article.

Soit σ_{p} ≃ (\begin{matrix}η_{1} & ∗ \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}) une représentation potentiellement cristalline réductible

de Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}) de poids de Hodge-Tate (1 − k, 0) pour un entier k ≥ 2 (i.e. telle que η_{1} est de poids 0 et η_{2} de poids 2 − k) où ε désigne le caractère cyclotomique p-adique. On suppose de plus η_{1} ≠ η_{2} si k = 2. L’extension ∗ est alors unique si elle est non-nulle. En voyant les caractères de Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}) comme des caractères de ℚ_{p}^{×} via la réciprocité locale, on associe à σ_{p} un espace de Banach p-adique B(σ_{p}) muni d’une action continue unitaire de GL_{2}(ℚ_{p}) comme suit :

REPRÉSENTATIONS ORDINAIRES DE GL_{2}(ℚ_{p}) ET COMPATIBILITÉ 3

(i) si σ_{p} ≃ (\begin{matrix}η_{1} & 0 \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}), alors :

B(σ_{p}) = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} ⊕ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}},

(ii) si σ_{p} ≃ (\begin{matrix}η_{1} & ∗ \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}) avec ∗ ≠ 0 alors B(σ_{p}) est une extension non scindée :

0 → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} → B(σ_{p}) → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} → 0,

où la notation (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η ⊗ η′)^{C^{0}} désigne les fonctions continues f sur GL_{2}(ℚ_{p}) à valeurs dans une extension finie (fixée) de ℚ_{p} telles que f(bg) = (η ⊗ η′)(b)f(g) (l’action de GL_{2}(ℚ_{p}) étant la translation usuelle à droite sur les fonctions). Le Banach B(σ_{p}) dans le cas (ii) est obtenu en prenant l’unique complété padique unitaire de l’induite parabolique localement analytique (au sens de [44]) (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1} | |^{k−1} ε^{2−k} ⊗ η_{2} | |^{1−k} ε^{k−2})^{an} où | | désigne le caractère norme (cf. §2.2). La définition de la correspondance ci-dessus peut donc se résumer par la phrase : � c’est scindé côté Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}) si et seulement si c’est scindé côté GL_{2}(ℚ_{p}) �.

Considérons maintenant une forme modulaire f = q + ∑_{n≥2} a_{n}(f)q^{n} parabolique nouvelle normalisée de poids k ≥ 2, niveau N, caractère χ et vecteur propre des opérateurs de Hecke T_{ℓ} pour (ℓ, N) = 1 et U_{ℓ} pour ℓ|N. Notons σ(f) la représentation p-adique de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) associée à f et σ_{p}(f) sa restriction à un sous-groupe de décomposition en p. Si M est la partie première à p de N et si L est une extension finie de ℚ_{p} sur laquelle f est définie, notons Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} =^{déf} L⊗_{ℤ_{p}}(complété p-adique du ℤ_{p}-module lim_{\overrightarrow{r}} H_{ét}^{1}(Y_{1}(M; p^{r})\overline{ℚ}, ℤ_{p}))

où Y_{1}(M; p^{r}) est la courbe modulaire ouverte associée au groupe de congruences Γ_{1}(M) ∩ Γ(p^{r}). On définit la composante σ(f)-isotypique :

Π_{p}(f) =^{déf} Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)}(σ(f), Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})

qui est un espace de Banach p-adique naturellement muni d’une action continue unitaire de GL_{2}(ℚ_{p}). On s’attend à ce que la GL_{2}(ℚ_{p})-représentation Π_{p}(f) � contienne � exactement la � même information � que la représentation p-adique σ_{p}(f), c’est-à-dire contienne la théorie de Hodge p-adique de la forme f (cf. e.g. [9]). Supposons maintenant que σ_{p}(f) est de la forme précédente (i.e. potentiellement cristalline et réductible). Dans ce cas, notre conjecture de compatibilité local-global est alors précisément :

Conjecture 1.1.1. — Il y a un isomorphisme topologique GL_{2}(ℚ_{p})-équiva-riant d’espaces de Banach p-adiques B(σ_{p}(f)) ≃ Π_{p}(f).

Le résultat principal du texte est une version faible de cette conjecture :

Théorème 1.1.2. — (i) On a toujours une immersion fermée GL_{2}(ℚ_{p})-équi-variante d’espaces de Banach p-adiques :

B(σ_{p}(f)) ↪ Π_{p}(f).

(ii) Si σ_{p}(f) n’est pas scindée, on a de plus (avec les notations précédentes) :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} (B(σ_{p}(f)), Π_{p}(f)) = L
Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}}, Π_{p}(f)) = 0.

Nous mentionnons maintenant les étapes pour démontrer le théorème 1.1.2. Pour simplifier, nous supposons dans la suite de l’introduction que f est telle que a_{p}(f) est une unité p-adique (pour un plongement fixé \overline{ℚ} ↪ \overline{ℚ_{p}}). Si N est premier à p, notons α_{p} et β_{p} les racines de X^{2} − a_{p}(f)X + p^{k−1}χ(p) avec β_{p} unité p-adique et posons f̃ = f(z) − β_{p}f(pz). Si p^{r} divise exactement N avec r > 0, posons f̃ = f |_{w_{p^{r}}} où w_{p^{r}} est l’opérateur d’Atkin (cf. §4.1). Rappelons que l’opérateur θ sur les q-développements désigne qd/dq.

Théorème 1.1.3. — La représentation σ_{p}(f) est scindée si et seulement s’il existe une forme surconvergente g (nécessairement de pente nulle et de poids 2 − k) telle que f̃ = θ^{k−1}(g).

Notons que le sens f̃ = θ^{k−1}(g) ⇒ σ_{p}(f) scindée est le plus facile (voir e.g. [30, Prop.11]). L’existence de g est plus subtile et est basée sur les théorèmes de comparaison p-adiques usuels combinés avec la théorie des formes modulaires surconvergentes. La forme g (lorsqu’elle existe) mérite le nom de forme compagnon surconvergente de f car le théorème 1.1.3 est un analogue en caractéristique 0 du théorème bien connu de Gross ([33]). Notons que les deux cas (σ_{p}(f) scindée ou non) arrivent vraiment en pratique (par exemple, si f est CM, g existe toujours par [12, Prop.7.1] et σ_{p}(f) est donc scindée). Certains cas du théorème 1.1.3 étaient déjà connus (par une méthode de relèvement à la caractéristique 0 du résultat de [33]) : cf. [11] et aussi [30, §6].

La preuve du deuxième résultat utilise de façon essentielle une version p-adique du foncteur de Jacquet définie et étudiée dans [22] et [23]. Disons qu’une forme surconvergente g de poids entier k ≥ 2 est � mauvaise � si elle n’est pas dans l’image de l’opérateur θ^{k−1} (pour la définition précise de � mauvaise � voir la définition 5.4.1 et la proposition 5.4.4).

Théorème 1.1.4. — Soit g une forme modulaire surconvergente de poids entier k ∈ ℤ, niveau N, caractère χ, vecteur propre des opérateurs de Hecke et telle que U_{p}g = α_{p}g avec α_{p} non-nul. Supposons de plus que g n’est pas � mauvaise � lorsque k ≥ 2. Alors on a une injection :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}nr(α_{p}^{−1})χ_{p}^{−1}ε^{2−k} ⊗ nr(α_{p}))^{an} ↪ Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{g}

où Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{g} est l’espace propre de Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} pour l’action des opérateurs de Hecke (hors Np) et pour les valeurs propres de g, χ_{p} est la composante en p du caractère des adèles finis de ℚ déduit de χ, nr(x) est le caractère non-ramifié de ℚ_{p}^{×} envoyant p sur x et � an � désigne l’induite parabolique localement analytique.

En fait, un résultat plus précis est démontré dans le texte (où l’on utilise plutôt la cohomologie à support compact, cf. §5.5). Notons qu’une injection comme dans le théorème 1.1.4 n’est pas unique à cause de la présence de la représentation galoisienne associée à g (de dimension 2) dans l’espace propre Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{g}. Le théorème 1.1.4 s’obtient de la manière suivante : à la forme surconvergente g correspond un point de la courbe de Hecke (ou � eigencurve �) de Coleman-Mazur ([17]). Par la théorie de [21], si J_{B}(Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}) est la représentation du tore de GL_{2}(ℚ_{p}) obtenue après application du foncteur de Jacquet p-adique J_{B} à Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}, à ce point est associé un sous-espace propre de J_{B}(Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}) pour l’action du tore et des opérateurs de Hecke (hors Mp) : dans notre cas il s’agit du sous-espace propre pour le caractère nr(α_{p}) | | ⊗nr(α_{p}^{−1})χ_{p}^{−1}ε^{2−k} | |^{−1}. On déduit alors grosso-modo le théorème 1.1.4 d’une loi d’adjonction pour le foncteur J_{B} (sauf dans un cas essentiel qui nécessite plus de travail, cf. ci-dessous).

On démontre alors le théorème 1.1.2 comme suit. On montre d’abord facilement que le morceau (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} est toujours contenu dans Π_{p}(f). Supposons que σ_{p}(f) est scindée. En appliquant le théorème 1.1.4 à la forme surconvergente g donnée par le théorème 1.1.3 et en tordant par ε^{k−1}, on obtient une injection continue (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{an} ↪ Π_{p}(f) d’où

une immersion fermée (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} ↪ Π_{p}(f). Ainsi Π_{p}(f) contient dans ce cas la somme directe des deux induites paraboliques continues, c’est-à-dire B(σ_{p}(f)). Notons que l’on ne peut pas appliquer le théorème 1.1.4 à la forme surconvergente f̃ car f̃ est alors précisément � mauvaise �. Supposons maintenant que σ_{p}(f) n’est pas scindée. Alors, Π_{p}(f) ne peut contenir le morceau (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε⊗η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} car en appliquant à l’inverse le raisonnement précédent et en utilisant la description cohomologique des formes surconvergentes ordinaires due à Hida, on aurait f̃ dans l’image de θ^{k−1} ce qui impliquerait σ_{p}(f) scindée (en fait, on montre une assertion un peu plus faible sur f̃ qui suffit à entraîner σ_{p}(f) scindée, cf. théorème 5.7.2). Mais le théorème 1.1.4 appliqué cette fois à la forme f̃ (qui n’est plus � mauvaise �) donne une injection continue :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1} | |^{k−1} ε^{2−k} ⊗ η_{2} | |^{1−k} ε^{k−2})^{an} ↪ Π_{p}(f)

d’où on déduit une immersion fermée B(σ_{p}(f)) ↪ Π_{p}(f) car, par définition, B(σ_{p}(f)) est l’unique complété p-adique unitaire de la représentation localement analytique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1} | |^{k−1} ε^{2−k}⊗η_{2} | |^{1−k} ε^{k−2})^{an}. Avec un peu plus de travail, on obtient la multiplicité 1 du (ii) du théorème 1.1.2. Notons que le théorème 1.1.4 est dans ce cas particulièrement délicat car on est dans une situation de � pente critique � (i.e. on sort des conditions d’application du théorème d’Amice-Vélu et Vishik) et la démonstration de ce cas prend une bonne place de la partie 5.

Le texte est divisé comme suit : après cette introduction et les notations, la partie 2, purement locale, introduit diverses induites paraboliques pour GL_{2}(ℚ_{p}) ainsi que la construction des représentations B(σ_{p}). La partie 3 est consacrée à la définition et aux premières propriétés du GL_{2}(ℚ_{p})-Banach p-adique Π_{p}(f) (pour une forme modulaire propre f quelconque), puis à l’énoncé de la conjecture 1.1.1. La partie 4 contient la démonstration du théorème 1.1.3. Enfin, la partie 5 est consacrée à la démonstration du théorème 1.1.4, puis à celle du théorème 1.1.2. Un appendice conclut l’article, dans lequel on démontre une proposition technique mais importante pour la preuve du théorème 1.1.4.

1.2. On fixe p un nombre premier. On note \overline{ℚ} une clôture algébrique de ℚ et \overline{ℚ_{p}} une clôture algébrique de ℚ_{p}. On fixe des plongements \overline{ℚ} ↪ ℂ et \overline{ℚ} ↪ \overline{ℚ_{p}}. Pour z ∈ \overline{ℚ_{p}}, val(z) ∈ ℚ ∪ \{+∞\} est la valuation p-adique normalisée par val(p) = 1 et |z |=^{déf} p^{−val(z)} ∈ ℝ^{+}. On note 𝔸 les adèles de ℚ et 𝔸_{f} = ℤ̂ ⊗_{ℤ} ℚ les adèles finis. On note aussi ℤ̂^{p} =^{déf} ∏_{ℓ≠p} ℤ_{ℓ} et ℤ_{Mp}^{×} =^{déf} lim_{\overleftarrow{n}}(ℤ/Mp^{n}ℤ)^{×} pour un entier M tel que

(M, p) = 1.

On normalise l’application de réciprocité du corps de classes local en envoyant les Frobenius arithmétiques sur les inverses des uniformisantes. On note ε le caractère cyclotomique p-adique de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) et on remarque que, via la réciprocité locale en p, ε(z) = z |z | si z ∈ ℚ_{p}^{×}. On note nr(x) le caractère non-ramifié de ℚ_{p}^{×} envoyant p sur x.

On note GL_{2} le schéma en groupes sur ℤ usuel des matrices carrées inversibles, B (resp. \overline{B}) le sous-schéma en groupes des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures), N (resp. \overline{N}) le sous-schéma en groupes de B (resp. \overline{B}) des matrices unipotentes supérieures (resp. inférieures), P le sous-schéma en groupes de B des matrices de la forme (\begin{matrix}∗ & ∗ \\ 0 & 1 \end{matrix}) et T =^{déf} B ∩ \overline{B} le sous-schéma en groupes de GL_{2} des matrices diagonales. Pour un anneau A (commutatif unitaire), on note GL_{2}(A), etc. les groupes correspondants des points à valeurs dans A (nous utiliserons essentiellement A = ℚ_{p} et A = ℤ_{p}).

On note 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), 𝔟(ℚ_{p}), 𝔱(ℚ_{p}), 𝔫(ℚ_{p}) les algèbres de Lie respectives de GL_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p}), T(ℚ_{p}), N(ℚ_{p}), et 𝔷(ℚ_{p}) le centre de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}). On pose :

T(ℚ_{p})^{+} =^{déf} {t ∈ T(ℚ_{p}) | tN(ℤ_{p})t^{−1} ⊂ N(ℤ_{p})}
= \{(\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix}) , a, d ∈ ℚ_{p}^{×}, \frac{a}{d} ∈ ℤ_{p}\} ,
B(ℚ_{p})^{+} =^{déf} N(ℤ_{p})T(ℚ_{p})^{+} = \{(\begin{matrix}a & z \\ 0 & d \end{matrix}) , a, d ∈ ℚ_{p}^{×}, \frac{a}{d}, \frac{z}{d} ∈ ℤ_{p}\}

et on note X_{−} =^{déf} (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ∈ 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}).

Si V est un ℚ_{p}-espace vectoriel muni d’une action linéaire de B(ℚ_{p}), si t ∈

T(ℚ_{p})^{+} et si N_{t} =^{déf} {n ∈ N(ℤ_{p}) | t^{−1}nt ∈ N(ℤ_{p})}, on note π_{t} : V^{N(ℤ_{p})} → V^{N(ℤ_{p})}

l’opérateur de Hecke défini par :

π_{t}v =^{déf} #(N(ℤ_{p})/N_{t})^{−1} ∑_{n∈N(ℤ_{p})/N_{t}} nt · v.

Si t ∈ T(ℤ_{p}), on a π_{t}v = t · v. Les opérateurs π_{t} préservent V^{P(ℤ_{p})}.

Si f est une forme modulaire holomorphe (pas nécessairement parabolique) de poids k ≥ 2 de caractère χ nouvelle pour un groupe de congruence Γ_{1}(N) vecteur propre des opérateurs de Hecke et si L est une extension finie de ℚ_{p} dans \overline{ℚ_{p}} qui contient les valeurs propres associées, on note σ(f) : Gal(\overline{ℚ}/ℚ) → GL_{2}(L) la représentation p-adique semi-simple associée à f par Deligne. Si ℓ est un nombre premier, on désigne par Frob_{ℓ} un Frobenius arithmétique en ℓ. Pour ℓ ∤ Np, le polynôme caractéristique de σ(f)(Frob_{ℓ}^{−1}) est X^{2} − a_{ℓ}X + ℓ^{k−1}χ(ℓ) si T_{ℓ}f = a_{ℓ}f. La représentation σ(f) est absolument irréductible si f est parabolique. Si π_{p,u}(f) désigne la composante locale en p de la représentation admissible lisse irréductible de GL_{2}(𝔸_{f}) engendrée par f (cf. [20, §2.4]), on pose :

π_{p}(f) =^{déf} π_{p,u}(f)⊗ |det|^{\frac{2−k}{2}} .

C’est une représentation lisse irréductible de GL_{2}(ℚ_{p}) de caractère central | |^{2−k} χ_{p}^{−1} où χ_{p} est la composante locale en p de χ vu comme caractère de 𝔸_{ℚ,f}^{×}. Par exemple, si (p, N) = 1, alors π_{p}(f) est l’induite parabolique lisse de B(ℚ_{p}) à GL_{2}(ℚ_{p}) du caractère non ramifié nr(p^{−1}β_{p}) ⊗ nr(α_{p}) où α_{p}, β_{p} sont les racines de X^{2} − a_{p}X + p^{k−1}χ(p).

Si A est un anneau (commutatif unitaire), on note Sym^{k−2}A^{2} la représentation algébrique de GL_{2}(A) dont l’espace sous-jacent est le A-module ⊕_{0≤j≤k−2}Az^{j} muni de l’action A-linéaire à gauche (g(P))(z) =^{déf} (−cz + a)^{k−2}P (\frac{dz−b}{−cz+a}) où g = ({a b \atop c d}) ∈ GL_{2}(A) et P ∈ ⊕_{0≤j≤k−2}Az^{j}.

Si M est un entier premier à p, on note 𝕋(M) (ou simplement 𝕋 si M est fixé) l’algèbre polynomiale sur ℤ_{p} engendrée par les variables T_{ℓ} et S_{ℓ} pour ℓ premier ne divisant pas Mp. On appelle parfois � module de Hecke � un 𝕋-module et � système de valeurs propres de Hecke � (defini sur L) un homomorphisme λ : 𝕋 → L pour une extension finie L de ℚ_{p} dans \overline{ℚ}_{p}. Si λ est un système de valeurs propres de Hecke défini sur L et X un module de Hecke, on note X_{L}^{λ} le sous-espace de X ⊗_{ℤ_{p}} L sur lequel 𝕋 agit via λ. Si λ provient d’une forme modulaire f vecteur propre des T_{ℓ} et S_{ℓ}, on note aussi X_{L}^{f} =^{déf} X_{L}^{λ}. On dit qu’un système de valeurs propres λ defini sur L est Eisenstein s’il existe des caractères continus ε_{1}, ε_{2} : ℤ_{Mp}^{×} → L^{×} tels que λ(T_{ℓ}) = ε_{1}(ℓ) + ε_{2}(ℓ) et λ(ℓS_{ℓ}) = ε_{1}(ℓ)ε_{2}(ℓ) pour tout ℓ ∤ Mp. On dit qu’un module de Hecke X est Eisenstein si, pour toute extension finie L de ℚ_{p}, tout système de valeurs propres λ defini sur L tel que X_{L}^{λ} ≠ 0 est Eisenstein.

Tous les espaces de Banach B de ce texte sont p-adiques et tels que ||B|| ⊆ |L| où L ⊂ \overline{ℚ_{p}} désigne le corps des coefficients qui est toujours une extension finie de ℚ_{p}. On appelle GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire un espace de Banach B muni d’une action à gauche L-linéaire de GL_{2}(ℚ_{p}) telle que les applications GL_{2}(ℚ_{p}) → B, g ↦ gv sont continues pour tout v ∈ B et telle que, pour un choix de norme || || sur B, on a ||gv|| = ||v|| pour tout g ∈ GL_{2}(ℚ_{p}) et tout v ∈ B. Un GL_{2}(ℚ_{p})- Banach unitaire est dit admissible (suivant [45, §3]) si le Banach dual est de type fini sur L ⊗_{O_{L}} O_{L}[[GL_{2}(ℤ_{p})]] où O_{L}[[GL_{2}(ℤ_{p})]] =^{déf} lim_{\overleftarrow{H}} O_{L}[GL_{2}(ℤ_{p})/H], la limite

projective étant prise sur les sous-groupes de congruences principaux de GL_{2}(ℤ_{p}).

2. Représentations ordinaires de GL_{2}(ℚ_{p})

Dans cette partie, après des préliminaires sur les induites paraboliques, nous définissons les GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaires B(σ_{p}) de l’introduction. On fixe L une extension finie de ℚ_{p} dans \overline{ℚ_{p}}.

2.1. On commence par quelques considérations générales sur les induites paraboliques.

On note T̂ l’espace rigide analytique sur ℚ_{p} paramétrant les caractères localement analytiques (ou continus, ce qui est équivalent) χ_{1}⊗χ_{2} de T(ℚ_{p}). Cet espace est isomorphe au produit (W × 𝔾_{m})^{2} où W est l’espace rigide analytique sur ℚ_{p} paramétrant les caractères localement analytiques de ℤ_{p}^{×} ([21, §4.4]). Un élément de T̂(L) est donc un caractère localement analytique χ_{1} ⊗ χ_{2} : T (ℚ_{p}) → L^{×}.

Définition 2.1.1. — On dit qu’un caractère χ_{1} ⊗χ_{2} de T̂(L) est de poids classique k où k est un entier ≥ 2 si le caractère χ_{2}/χ_{1} : ℚ_{p}^{×} → L^{×} est produit d’un caractère localement constant par le caractère algébrique z ↦ z^{k−2}. On dit qu’un caractère χ_{1} ⊗ χ_{2} de T̂(L) est de poids classique s’il existe un entier k ≥ 2 tel que χ_{1} ⊗ χ_{2} est de poids classique k.

Si d un entier positif ou nul, on note C^{lp,≤d}(ℤ_{p}, L) (resp. C^{an}(ℤ_{p}, L), resp. C^{0}(ℤ_{p}, L)) le L-espace vectoriel des fonctions localement polynomiales de degré ≤ d (resp. localement analytiques, resp. continues) f : ℤ_{p} → L muni de la topologie localement convexe la plus fine (resp. de type compact définie dans [44], resp. associée à la norme Sup | f(z) |). Lorsque d = 0, on note aussi C^{lc}(ℤ_{p}, L) =^{déf} C^{lp,≤0}(ℤ_{p}, L) l’espace des fonctions localement constantes sur ℤ_{p}.

Si χ_{1} ⊗χ_{2} : T (ℚ_{p}) → L^{×} est un caractère de poids classique k (resp. localement analytique, resp. continu), on note :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lp,≤k−2}

(resp. (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}, resp. (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{C^{0}}) l’induite parabolique localement polynomiale de degré ≤ k − 2 (resp. localement analytique au sens de [44, §5,6], resp. continue au sens de [45]), c’est-à-dire le L-espace vectoriel V des fonctions F : GL_{2}(ℚ_{p}) → L telles que g ↦ det(g)^{−1}F (g) est localement polynomiale de degré ≤ k − 2 (resp. localement analytique, resp. continue) et telles que :

F ((\begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix})g) = χ_{1}(a)χ_{2}(d)F (g)

muni de l’action à gauche de GL_{2}(ℚ_{p}) donnée par (g·F)(g′) =^{déf} F (g′g). Cet espace est naturellement muni d’une topologie localement convexe (la plus fine dans le cas localement algébrique, de type compact dans le cas localement analytique (cf.

[44] pour une définition précise), associée à la norme Sup_{g∈GL_{2}(ℤ_{p})} |f(g)| dans le cas continu) pour laquelle l’application GL_{2}(ℚ_{p}) × V → V, (g, F) ↦ g · F est continue.

L’application :

F ∈ V ↦ (z ↦ F ((\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & z \end{matrix})))

identifie V au L-espace vectoriel des fonctions localement polynomiales de degré ≤ k − 2 (resp. localement analytiques, resp. continues) f : ℚ_{p} → L telles que (χ_{2}χ_{1}^{−1})(z)f(1/z) se prolonge au voisinage de z = 0 en une fonction polynomiale de degré ≤ k − 2 (resp. analytique, resp. continue). L’action de GL_{2}(ℚ_{p}) s’écrit alors :

((\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) · f)(z) = χ_{1}(ad − bc)(χ_{2}χ_{1}^{−1})(−cz + a)f(\frac{dz − b}{−cz + a}) (1)

et l’application :

f ↦ ((z ↦ f(pz)), (z ↦ (χ_{2}χ_{1}^{−1})(z)f(1/z)))

fournit un isomorphisme topologique avec C^{lp,≤k−2}(ℤ_{p}, L)^{2} (resp. C^{an}(ℤ_{p}, L)^{2}, resp.

C^{0}(ℤ_{p}, L)^{2}). Si k = 2, on note aussi (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lc} =^{déf} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗

χ_{2})^{lp,≤0}. Il s’agit de l’induite lisse usuelle de 1 ⊗ χ_{2}χ_{1}^{−1} tordue par χ_{1}.

Nous aurons besoin de considérer des sous-espaces non préservés par GL_{2}(ℚ_{p}), mais préservés par 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) et B(ℚ_{p}), dans les induites localement analytiques précédentes. Nous les introduisons maintenant.

Pour χ_{1} ⊗ χ_{2} ∈ T̂(L) et d un entier ≥ 0, on note :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤d}

le sous-espace de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} des fonctions f ci-dessus à support compact dans ℚ_{p} et localement polynomiales de degré ≤ d. Si d = 0, on note aussi (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc}. On pose :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp} =^{déf} ⋃_{d≥0} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤d}.

On munit ces espaces de la topologie localement convexe la plus fine. Chacun des espaces (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤d} est B(ℚ_{p})-invariant et leur réunion est de plus 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-invariante. L’inclusion :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc} ⊂ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp}

induit donc un morphisme (𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p}))-équivariant :

(2) U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc} ⟶ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp}

où U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) (resp. U𝔟(ℚ_{p})) est l’algèbre enveloppante de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) (resp. 𝔟(ℚ_{p})).

Les deux lemmes qui suivent sont classiques. Pour le confort du lecteur, nous incluons leur preuve.

Lemme 2.1.2. — Si χ_{1} ⊗ χ_{2} n’est pas de poids classique, alors (2) est un isomorphisme.

Démonstration. — Soit w_{i} ∈ L le poids du caractère χ_{i} (i = 1, 2) et notons w =^{déf} w_{2} − w_{1}. Demander que χ_{1} ⊗ χ_{2} ne soit pas de poids classique est équivalent à demander que w ne soit pas un entier positif ou nul. Si X =^{déf} (\begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix}) ∈ 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})

et f ∈ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}1)(ℚ_{p})^{lp} (vu comme fonction sur ℚ_{p} comme précédemment), on obtient en différentiant (1) la formule suivante pour X · f :

(3) (X · f)(z) = (w_{1}(α + δ) + w(α − γz))f(z) + ( − β + (δ − α)z + γz^{2})f′(z)

où f′(z) est la dérivée de f. Soit L[z] le L-espace vectoriel des polynômes en z à coefficients dans L. La formule (3) définit une représentation de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) sur L[z] qui est un exemple de module de Verma contragrédient pour 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}). Le sous-espace L ⊂ L[z] des fonctions constantes est annulé par 𝔫(ℚ_{p}), et 𝔱(ℚ_{p}) agit sur L (vu comme L-espace vectoriel de dimension 1) par la dérivée du caractère χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, c’est-à-dire par (\begin{matrix}α & 0 \\ 0 & δ \end{matrix}) ↦ w_{2}α + w_{1}δ. L’action de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) sur L[z] induit un morphisme de U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-modules :

(4)  U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} L → L[z],

et c’est un résultat classique de théorie des modules de Verma (qui se vérifie directement en utilisant (3)) que (4) est un isomorphisme sous l’hypothèse que w n’est pas un entier positif ou nul. Si Ω est un ouvert compact de ℚ_{p}, notons L[z]_{|Ω} l’espace des fonctions ℚ_{p} → L qui sont polynomiales sur Ω et nulles sur le complémentaire de Ω. Par (3), on voit que L[z]_{|Ω} est un sous-espace de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp} stable par 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}). Si f ∈ L[z], soit f_{|Ω} l’élément de L[z]_{|Ω} défini comme étant le polynôme f sur Ω et 0 sur ℚ_{p} \ Ω. L’application f ↦ f_{|Ω} induit un isomorphisme de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-modules L[z] ⟶^{∼} L[z]_{|Ω}. Si L_{|Ω} désigne le sous-espace de L[z]_{|Ω} formé des fonctions constantes sur Ω, on a un diagramme commutatif :

\xymatrix{U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} L \ar[r] \ar[d]^{id⊗(f↦f_{|Ω})} & L[z] \ar[d]^{f↦f_{|Ω}} \\ U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} L_{|Ω} \ar[r] & L[z]_{|Ω}}

où la flèche horizontale supérieure et les deux flèches verticales sont des isomorphismes. Il en est donc de même de la flèche horizontale inférieure. On a par ailleurs des isomorphismes de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-modules (resp. de 𝔟(ℚ_{p})-modules) :

lim_{\overrightarrow{\{Ω_{i}\}}} ⨁_{i} L[z]_{|Ω_{i}} ⟶^{∼} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp}

(resp.

lim_{\overrightarrow{\{Ω_{i}\}}} ⨁_{i} L_{|Ω_{i}} ⟶^{∼} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc})

où la limite inductive est prise sur tous les ensembles finis {Ω_{i}} d’ouverts compacts disjoints de ℚ_{p}. Mais par le résultat ci-dessus, la flèche naturelle :

U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} lim_{\overrightarrow{\{Ω_{i}\}}} ⨁_{i} L_{|Ω_{i}} → lim_{\overrightarrow{\{Ω_{i}\}}} ⨁_{i} L[z]_{|Ω_{i}}

est un isomorphisme, d’où on déduit le lemme.

Lemme 2.1.3. — Si χ_{1} ⊗ χ_{2} ∈ T̂(L) est de poids classique k, alors le sousespace (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2} de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp} est stable par (𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p})), et l’image de (2) est égale à ce sous-espace, tandis que le noyau de (2) est isomorphe à :

X_{−}^{k−1}(U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc}).

Démonstration. — On garde les notations de la preuve du lemme précédent mais on suppose cette fois que w = k−2 est un entier positif ou nul. Si L[z]^{≤w} désigne le sous-espace de L[z] des polynômes de degré au plus w, on voit par (3) que L[z]^{≤w} est stable sous l’action de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}). Plus précisément L[z]^{≤w} est une représentation irréductible de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) dont le sous-espace de plus haut poids (par rapport à la sous-algèbre de Borel 𝔟(ℚ_{p})) est précisément le sous-espace L des constantes, sur lequel 𝔱(ℚ_{p}) agit par le poids dominant (\begin{matrix}α & 0 \\ 0 & δ \end{matrix}) ↦ w_{2}α + w_{1}δ (voir preuve du

Lemme 2.1.2). L’annulateur de L dans U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) est donc égal à X_{−}^{w+1}U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), et l’application (4) induit une surjection :

U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} L → L[z]^{≤w}

de noyau X_{−}^{w+1}U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}). Le lemme découle alors du même argument déjà utilisé dans la preuve du lemme 2.1.2, mutatis mutandis.

Le résultat suivant, de type � Amice-Vélu � est un cas particulier du résultat principal de [23] :

Proposition 2.1.4. — Si V est un espace de Banach sur L muni d’une action continue de GL_{2}(ℚ_{p}), alors la restriction des homomorphismes induit un isomorphisme :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}, V )

⟶^{∼} Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp}, V_{an})

où V_{an} est le sous-espace de V des vecteurs localement analytiques ([46, §7]).

Il s’agit bien sûr ici des homomorphismes continus (notons que, la topologie localement convexe sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp} étant la plus fine, la continuité des morphismes à droite est automatique). Pour la commodité du lecteur, nous donnons en appendice une preuve complète de cette proposition importante mais technique.

Rappelons enfin qu’aux représentations (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lp,≤k−2} si χ_{1} ⊗ χ_{2}

est de poids classique k et (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} si χ_{1} ⊗ χ_{2} ∈ T̂(L), on peut aussi associer leur complété unitaire universel, c’est-à-dire le complété par rapport à une semi-norme continue invariante sous GL_{2}(ℚ_{p}) aussi � fine � que possible (cf. [24, §1]). C’est un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire qui peut être nul. Par exemple, dans le cas localement algébrique, il s’agit simplement du complété de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗

χ_{2})^{lp,≤k−2} par rapport à un O_{L}-réseau de type fini sur O_{L}[GL_{2}(ℚ_{p})] (lorsqu’un tel réseau existe).

2.2. On définit les espaces de Banach B(σ_{p}) par complétion unitaire d’induites paraboliques.

On fixe un entier k ≥ 2 et χ_{1} ⊗ χ_{2} ∈ T̂(L) tel que χ_{1} ⊗ χ_{2} est de poids classique k, χ_{2} est localement constant et on a val(χ_{2}(p)) = k − 1 et val(χ_{1}(p)) = 1 − k. Si k = 2, on suppose de plus χ_{1} ≠ χ_{2}| |^{2} de sorte que la représentation (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})^{lc} est irréductible et isomorphe à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} )^{lc}.

On pose η_{1} =^{déf} χ_{1} | |^{1−k} ε^{k−2} = χ_{1} | |^{−1} z^{k−2} et η_{2} =^{déf} χ_{2} | |^{k−1} ε^{2−k} = χ_{2} | | z^{2−k} :

les caractères η_{1} et η_{2} sont à valeurs entières.

Proposition 2.2.1. — Le complété unitaire universel de la représentation localement algébrique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})^{lp,≤k−2} s’identifie au GL_{2}(ℚ_{p})-Banach uni-

taire admissible et topologiquement irréductible (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}}.

Démonstration. — En utilisant l’entrelacement :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−2} ⊗ χ_{2})^{lc} ≃ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} z^{k−2})^{lc}

on obtient un isomorphisme (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})^{lp,≤k−2} ≃ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2}⊗η_{1})^{lp,≤k−2}. Soit I_{k−2} le L-espace vectoriel des fonctions f : ℚ_{p} → L nulles en dehors de ℤ_{p} et polynomiales de degré ≤ k − 2 en restriction à ℤ_{p}, et choisissons une base (f_{0}, ⋯, f_{k−2}) du O_{L}-réseau de I_{k−2} des fonctions à valeurs dans O_{L}. Alors la sous-GL_{2}(ℚ_{p})-représentation ∑_{0≤i≤k−2} O_{L}[GL_{2}(ℚ_{p})]f_{i} ⊂ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{lp,≤k−2}

s’identifie au réseau stable par GL_{2}(ℚ_{p}) des fonctions de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2}⊗η_{1})^{lp,≤k−2} à valeurs dans O_{L}. On voit donc que ce réseau est de type fini et que le complété unitaire universel de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{lp,≤k−2} (ou de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lp,≤k−2}),

c’est-à-dire le complété de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{lp,≤k−2} par rapport à ce réseau,

s’identifie à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}}. Ce dernier GL_{2}(ℚ_{p})-Banach est admissible car son dual s’identifie à L ⊗ (O_{L}[[GL_{2}(ℤ_{p})]] ⊗_{O_{L}[[B(ℤ_{p})]]} O_{L}) qui est de type fini

sur O_{L}[[GL_{2}(ℤ_{p})]] (l’application B(ℤ_{p}) → O_{L} étant (\begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix}) ↦ η_{2}(a)η_{1}(d)). On

peut voir l’irréductibilité comme suit : soit B ⊆ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} un sousespace fermé non-nul stable par GL_{2}(ℚ_{p}). Par densité des vecteurs localement analytiques d’un Banach p-adique admissible ([46, Th.7.1]), B contient une sousreprésentation de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{an} dense (dans B), qui contient elle-même

nécessairement la représentation (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{lp,≤k−2} (car celle-ci est localement polynomiale, donc a fortiori localement analytique). Or on a vu que cette représentation est dense dans (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} qui est donc aussi B.

Rappelons qu’une fonction f : ℤ_{p} → L est de classe C^{k−1} si son développement de Mahler f(z) = ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}(f)\binom{z}{n} est tel que n^{k−1} | a_{n}(f) | tend vers 0 dans ℝ^{+} quand n tend vers +∞ (où \binom{z}{0} =^{déf} 1 et \binom{z}{n} =^{déf} \frac{z(z−1)···(z−n+1)}{n!} si n > 0). On note C^{k−1}(ℤ_{p}, L) le L-espace vectoriel de ces fonctions. C’est un Banach pour la norme || f ||=^{déf} Sup_{n}n^{k−1} | a_{n}(f) |. On peut aussi décrire cet espace comme les fonctions k − 1 fois dérivables de (k − 1)-ième dérivée continue ([41, §54]). Les fonctions de classe C^{k−1} sont stables par somme, produit, composition, etc. (cf. [41, Th.77.5]).

Soit V le L-espace vectoriel des fonctions f : ℚ_{p} → L telles que les fonctions f_{1} =^{déf} (z ↦ f(pz)) et f_{2} =^{déf} (z ↦ (χ_{2}χ_{1}^{−1})(z)f(1/z)) sont dans C^{k−1}(ℤ_{p}, L). C’est un espace de Banach pour la norme Sup(|| f_{1} ||, || f_{2} ||). On munit V de l’action à gauche (1) de GL_{2}(ℚ_{p}) qui est une action par automorphismes continus (cf. [4, §4.2]). Pour 0 ≤ j ≤ k − 2 et a ∈ ℚ_{p}, les fonctions f(z) = z^{j} et f(z) = (z −a)^{−j}(χ_{2}χ_{1}^{−1})(z −a) sont dans V (la preuve est analogue à [4, Lem.4.2.2]). On définit W ⊂ V comme l’adhérence dans V du sous-L-espace vectoriel engendré par toutes ces fonctions. Il est stable par GL_{2}(ℚ_{p}).

Théorème 2.2.2. — Le complété unitaire universel de la représentation localement analytique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})^{an} s’identifie au Banach quotient V/W avec son action induite de GL_{2}(ℚ_{p}). C’est un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire admissible de longueur topologique 2, extension non triviale de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} par

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}}.

Démonstration. — Posons α =^{déf} χ_{1}(p)^{−1} et β =^{déf} p^{k−1}χ_{2}(p)^{−1}, on a :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} = ε^{2−k} ⊗ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}nr(α^{−1})ψ_{1} ⊗ nr(pβ^{−1})ψ_{2}z^{k−2})^{an}

avec ψ_{1} = χ_{1}nr(χ_{1}(p))^{−1}ε^{k−2} et ψ_{2} = χ_{2}nr(χ_{2}(p))^{−1}. D’après [24, Prop.1.21] (plus précisément la preuve de loc. cit.), le complété unitaire universel de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗ χ_{2})^{an} est le complété par rapport au sous-O_{L}[B(ℚ_{p})]-module engendré par les vecteurs 1_{ℤ_{p}}(z)z^{j} et 1_{ℚ_{p}−ℤ_{p}}(z)(χ_{2}χ_{1}^{−1})(z)z^{−j} où 1_{U} est la fonction caractéristique de l’ouvert U et j ∈ ℤ_{≥0}. Par le même calcul que dans la preuve de [4, Th.4.3.1] (on a multiplié ici les caractères non-ramifiés nr(α^{−1}) et nr(pβ^{−1}) par les caractères entiers ψ_{1} et ψ_{2} et tordu la représentation par le caractère entier ε^{2−k} mais cela ne modifie pas l’argument), on trouve alors qu’une boule ouverte (de centre 0) du Banach dual du complété cherché s’identifie aux distributions μ dans le dual fort de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} telles que, pour tout a ∈ ℚ_{p}, tout j ∈ ℤ_{≥0} et tout n ∈ ℤ :

(5)  ∫_{a+p^{n}ℤ_{p}}(z − a)^{j}dμ(z) ∈ p^{n(j−k+1)}O_{L}
(6)  ∫_{ℚ_{p}−(a+p^{n}ℤ_{p})}(z − a)^{−j}(χ_{2}χ_{1}^{−1})(z − a)dμ(z) ∈ p^{n(k−1−j)}O_{L}

en se rappelant que val(χ_{1}(p)) = 1 − k. Un raisonnement analogue à celui de la preuve de [4, Th.4.3.1] montre que les conditions (5) et (6) sélectionnent exactement les distributions tempérées d’ordre ≤ k − 1 (c’est-à-dire les distributions de V^{∨}) annulant les fonctions z^{j} et (z − a)^{−j}(χ_{2}χ_{1}^{−1})(z − a) pour 0 ≤ j ≤ k − 2 (faire n ↦ −∞ dans (5) et n ↦ +∞ dans (6)), c’est-à-dire les fonctions de W. On en déduit la première partie de l’énoncé. Un raisonnement similaire (en plus simple) montre que le complété unitaire universel de l’induite (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})^{an} = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{an} s’identifie

à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} et la même preuve que pour la proposition 2.2.1 montre que ce dernier est un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach admissible et topologiquement irréductible. Il résulte de la définition du complété unitaire universel que la surjection (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} ↠ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})^{an} induit une sur-

jection GL_{2}(ℚ_{p})-équivariante V/W ↠ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}}. Par continuité, cette dernière surjection s’identifie encore à f ↦ f^{(k−1)} et son noyau n’est autre que N/W où N ⊂ V est le sous-espace fermé des fonctions de dérivée (k − 1)- ième nulle (notons que W ⊂ N). Par ailleurs, le complété unitaire universel de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lp,≤k−2} s’envoie par fonctorialité dans N/W et, via la proposition 2.2.1, on voit qu’il s’agit nécessairement d’une immersion fermée (car les caractères η_{1} et η_{2} étant entiers, il n’y a qu’une norme invariante à équivalence près sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})^{lp,≤k−2} = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗η_{1})^{lp,≤k−2}, voir e.g. [4],Cor.5.4.4). En utilisant le résultat d’analyse p-adique disant que l’adhérence dans C^{k−1}(ℤ_{p}, L) du sous-espace des fonctions polynomiales de degré au plus k − 2 s’identifie exactement aux fonctions de dérivée (k − 1)-ième nulle (dont on trouvera une preuve pour k = 2 dans [41, §68] et pour k quelconque dans [42, §8]), on obtient bien une suite exacte GL_{2}(ℚ_{p})-équivariante :

0 → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} → V/W → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} → 0

qui fait de V/W un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach admissible de longueur topologique 2 (en utilisant ce qui précède et la proposition 2.2.1). Enfin, cette suite est non scindée, sinon la représentation localement analytique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})^{an} serait également scindée ce qui n’est pas le cas (cf. [44]).

2.3. Soit σ_{p} une représentation potentiellement cristalline de Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}) réductible et de dimension 2 sur L. On peut écrire :

σ_{p} ≃ (\begin{matrix}χ_{1} | |^{1−k} ε^{k−2} & ∗ \\ 0 & χ_{2} | |^{k−1} ε^{1−k} \end{matrix}) ⊗ η

pour un caractère continu η : Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p}) → L^{×}, un unique entier k supérieur ou égal à 1 et un caractère χ_{1} ⊗ χ_{2} de poids classique k avec χ_{2} localement constant tel que val(χ_{2}(p)) = k − 1 et val(χ_{1}(p)) = 1 − k (de sorte que, via la réciprocité locale, χ_{1} | |^{1−k} et χ_{2} | |^{k−1} s’étendent à Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p})). Notons que, lorsque k = 1, la terminologie � de poids classique 1 � est un abus de notations et signifie ici que χ_{2}/χ_{1} est le produit d’un caractère localement constant par le caractère z ↦ z^{−1} (cf. définition 2.1.1). Si l’extension ∗ est non-nulle, alors elle est unique. On pose η_{1} =^{déf} χ_{1} | |^{1−k} ε^{k−2} et η_{2} =^{déf} χ_{2} | |^{k−1} ε^{2−k} comme au §2.2. Si k = 2, on suppose η_{1} ≠ η_{2} (voir la remarque 2.3.1 pour le cas η_{1} = η_{2}). On � associe � alors à σ_{p} le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire B(σ_{p}) suivant :

(i) si σ_{p} ≃ (\begin{matrix}η_{1} & 0 \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}) ⊗ η, alors :

B(σ_{p}) =^{déf} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}}⊗ η ⊕ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}}⊗ η,

(ii) si σ_{p} ≃ (\begin{matrix}η_{1} & ∗ \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}) ⊗ η avec ∗ ≠ 0 et si k ≥ 2 (voir la remarque 2.3.2 pour

k = 1), alors B(σ_{p}) est le tordu par η du complété unitaire universel de l’induite parabolique localement analytique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}. Par le théorème 2.2.2, c’est une extension non scindée :

0 → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}}⊗ η → B(σ_{p}) → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}}⊗ η → 0.

Remarque 2.3.1. — On discute ici le cas k = 2 et η_{1} = η_{2}. Notons qu’alors (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lc} = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})} | | ⊗ | |^{−1} )^{lc} ⊗ η_{1} n’est plus isomorphe à

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} )^{lc} = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}1 ⊗ 1)^{lc} ⊗ η_{1}. Soit B(2, ∞) le complété

unitaire universel de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})} | | ⊗ | |^{−1} )^{lc} (c’est une extension non-scindée de la représentation triviale par St où, comme dans [8], on note St le complété unitaire universel de la représentation de Steinberg). On est ici tenté de définir le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire B(σ_{p}) associé à σ_{p} comme suit :

(i) si σ_{p} est scindée :

B(σ_{p}) =^{déf} B(2, ∞) ⊗ η_{1}η ⊕ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}ε ⊗ ε^{−1})^{C^{0}}⊗ η_{1}η,

(ii) si σ_{p} est non scindée, B(σ_{p}) est défini comme le complété unitaire universel de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})} | | ⊗ | |^{−1} )^{an} ⊗ η_{1}η, et on a une extension non-scindée :

0 → B(2, ∞) ⊗ η_{1}η → B(σ_{p}) → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}ε ⊗ ε^{−1})^{C^{0}} ⊗ η_{1}η → 0.

Bien sûr, ce cas � non générique � n’arrive jamais dans le contexte global des formes modulaires paraboliques, et on ne peut donc le � tester � directement. Cependant, des considérations globales indirectes devraient permettre de tester le cas non scindé, comme nous l’expliquons maintenant.

Supposons que σ_{p} est non scindée (avec k = 2 et η_{1} = η_{2}) et supposons, pour simplifier, que η_{1} = η_{2} et η sont les caractères triviaux (quitte à tordre). La représentation σ_{p} peut se voir comme la � limite � (en un sens convenable) lorsque L → ∞ (i.e. val(L) → −∞) des représentations semi-stables réductibles V (2, L) de [8, Ex.1.3.5] (on peut par exemple considérer cette limite dans l’espace projectif de dimension 1 des classes d’isomorphismes d’extensions non-triviales de ε^{−1} par le caractère trivial). Pour chaque valeur (finie) de L, considérons le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire B(2, L) défini dans [8]. Il est alors très facile de prendre la limite lorsque val(L) → −∞ dans la construction de B(2, L) et de vérifier que l’on obtient le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach B(2, ∞) ci-dessus (dans la discussion de [8, §4.5], il suffit de remplacer la représentation σ(2, L) par la représentation σ(2, ∞) obtenue en remplaçant val par log_{L} dans la définition de σ(2, L)). En remplaçant ∞ par une valeur finie de L, on s’attend comme en (ii) ci-dessus à ce que le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire B(V (2, L)) correspondant à V (2, L) donne lieu à une suite exacte courte :

0 → B(2, L) → B(V (2, L)) → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}ε ⊗ ε^{−1})^{C^{0}} → 0

(bien qu’il ne soit pas clair, pour l’instant, comment construire une telle suite exacte). Le test global indirect évoqué ci-dessus consiste alors à prendre une forme modulaire nouvelle de niveau N et poids 2 telle que σ_{p}(f) ⟶^{∼} V (2, L) ⊗ η et à se demander si Π_{p}(f) (comme défini dans l’introduction) donne bien lieu à une suite exacte courte :

0 → B(2, L) ⊗ η → Π_{p}(f) → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}ε ⊗ ε^{−1})^{C^{0}} ⊗ η → 0.

Pour le moment, il est seulement connu qu’il existe un plongement GL_{2}(ℚ_{p})- équivariant B(2, L) ⊗ η ↪ Π_{p}(f) ([9]).

Remarque 2.3.2. — Lorsque k = 1 et ∗ ≠ 0, nous ignorons comment (ou même si l’on peut) construire une extension non scindée de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗

η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} par (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}}.

Remarque 2.3.3. — De même que l’extension est unique côté Galois (lorsqu’elle est non-nulle), on peut se demander s’il existe d’autres extensions de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} par (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} dans la catégorie abélienne des GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaires admissibles que celle donnée par le complété unitaire universel de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}.

Remarque 2.3.4. — Une version des résultats et définitions du §2.2 et du §2.3 se trouve déjà dans [3, §7] (qui ne sera pas publié).

3. La conjecture de compatibilité local-global

À toute forme modulaire parabolique propre f de poids k ≥ 2, on associe un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire admissible Π_{p}(f) construit dans la cohomologie des courbes modulaires. Lorsque la représentation galoisienne p-adique associée à f est potentiellement cristalline réductible en p, on conjecture que Π_{p}(f) est exactement le Banach du §2.3.

3.1. On commence par quelques rappels et préliminaires sur les GL_{2}(ℚ_{p})-Banach Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} et Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M)) ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} de [21] et [9].

Pour tout sous-groupe compact K_{f} de GL_{2}(𝔸_{f}), on note :

Y (K_{f}) =^{déf} GL_{2}(ℚ)\GL_{2}(𝔸)/ℂ^{×}K_{f}

où l’on voit ℂ^{×} dans GL_{2}(ℝ) par a + ib ↦ (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}). Pour tout entier positif M premier à p et tout entier positif ou nul r, on pose :

K_{1}^{p}(M) =^{déf} \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℤ̂^{p}), (c, d) ≡ (0, 1) mod M\} ,
K_{p}(r) =^{déf} \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℤ_{p}), (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ≡ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) mod p^{r}\}

et K_{1}(M; p^{r}) =^{déf} K_{1}^{p}(M)K_{p}(r). Il s’agit de sous-groupes ouverts respectivement de GL_{2}(ℤ̂^{p}), GL_{2}(ℤ_{p}) et GL_{2}(ℤ̂). On note Y_{1}(M; p^{r}) =^{déf} Y (K_{1}(M; p^{r})) la courbe modulaire (ouverte) classifiant les courbes elliptiques avec structure de niveau Γ_{1}(M) en dehors de p et structure de niveau Γ(p^{r}) en p.

Le complété p-adique d’un ℤ_{p}-module X est par définition le ℤ_{p}-module :

X̂ =^{déf} lim_{\overleftarrow{n}} X/p^{n}X.

Pour i ∈ {0, 1} (resp. i ∈ {1, 2}), on note Ĥ^{i}(K_{1}^{p}(M)) (resp. Ĥ_{c}^{i}(K_{1}^{p}(M))) le complété p-adique du ℤ_{p}-module lim_{\overrightarrow{r}} H^{i}(Y_{1}(M; p^{r}), ℤ_{p}) (resp. du ℤ_{p}-module

lim_{\overrightarrow{r}} H_{c}^{i}(Y_{1}(M; p^{r}), ℤ_{p})) et, pour toute extension finie L de ℚ_{p}, Ĥ^{i}(K_{1}^{p}(M))_{L} =^{déf}

Ĥ^{i}(K_{1}^{p}(M)) ⊗_{ℤ_{p}} L (resp. Ĥ_{c}^{i}(K_{1}^{p}(M))_{L} =^{déf} Ĥ_{c}^{i}(K_{1}^{p}(M)) ⊗_{ℤ_{p}} L). Les ℤ_{p}-modules Ĥ^{i}(K_{1}^{p}(M)) et Ĥ_{c}^{i}(K_{1}^{p}(M)) sont sans torsion et munis d’actions naturelles de Gal(\overline{ℚ}/ℚ), GL_{2}(ℚ_{p}) et 𝕋 induites par leurs actions sur lim_{\overrightarrow{r}} H^{i}(Y_{1}(M; p^{r}), ℤ_{p}) et

lim_{\overrightarrow{r}} H_{c}^{i}(Y_{1}(M; p^{r}), ℤ_{p}). L’action de GL_{2}(ℚ_{p}) fait de Ĥ^{i}(K_{1}^{p}(M))_{L} et Ĥ_{c}^{i}(K_{1}^{p}(M))_{L}

des GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaires qui sont admissibles ([21, Th.2.2.13]).

Si i = 1, par [9, Lem.2.2.1] ou [21, Prop.4.3.9], l’application naturelle de la cohomologie à support compact vers la cohomologie :

Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) ⟶ Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M)) (7)

est surjective et on note M̂ son noyau. Il est encore muni des actions induites de Gal(\overline{ℚ}/ℚ), GL_{2}(ℚ_{p}) et 𝕋. Ce noyau admet une description explicite simple que nous donnons maintenant.

Si K_{f} est un sous-groupe ouvert compact quelconque de GL_{2}(𝔸_{f}), rappelons que l’ensemble des pointes de la courbe modulaire Y (K_{f}) admet la description adélique :

C(K_{f}) =^{déf} GL_{2}(ℚ)\(ℙ^{1}(ℚ) × π_{0} × GL_{2}(𝔸_{f}))/K_{f} ⟶^{∼} T(ℚ)^{+}N(𝔸_{f})\GL_{2}(𝔸_{f})/K_{f}

où T(ℚ)^{+} est le sous-groupe de T(ℚ) des matrices diagonales de déterminant positif et π_{0} le groupe des composantes connexes de GL_{2}(ℝ). Passant à la limite projective sur K_{f}, on obtient la description suivante de l’ensembre profini Ĉ =^{déf}

lim_{\overleftarrow{K_{f}}} C(K_{f}) :

(8)  Ĉ ⟶^{∼} T(ℚ)^{+}N(𝔸_{f})\GL_{2}(𝔸_{f}) ⟶^{∼} (±N(ℤ̂))\GL_{2}(ℤ̂).

L’application � déterminant � induit une surjection :

(9)  Ĉ ↠ ℚ_{>0}^{×}\𝔸_{f}^{×} ⟶^{∼} ℤ̂^{×}

qui s’identifie à la limite projective de la surjection C(K_{f}) → π_{0}(Y (K_{f})) envoyant une pointe vers la composante connexe qui la contient. Comme T(𝔸_{f}) normalise T(ℚ)^{+}N(𝔸_{f}), la multiplication à gauche par T(𝔸_{f}) induit (via (8)) une action de T(𝔸_{f}) sur Ĉ. On définit un homomorphisme Gal(\overline{ℚ}/ℚ) → T(𝔸_{f}) par :

σ ↦ (\begin{matrix}cyclo(σ) & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

où σ ∈ Gal(\overline{ℚ}/ℚ) et cyclo : Gal(\overline{ℚ}/ℚ) → ℤ̂^{×} est le caractère cyclotomique adélique. Cet homomorphisme et l’action de T(𝔸_{f}) sur Ĉ induisent une action de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) sur Ĉ qui s’identifie à la limite projective de l’action naturelle de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) sur C(K_{f}).

On note C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p}) (resp. C^{0,lc}(ℤ̂^{×}, ℤ_{p})) l’espace des fonctions de Ĉ (resp. de ℤ̂^{×}) dans ℤ_{p} qui sont continues en les variables p-adiques et localement constantes en les autres. L’action à droite de GL_{2}(𝔸_{f}) sur Ĉ fait de C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p}) une GL_{2}(𝔸_{f})- représentation. Via (9), C^{0,lc}(ℤ̂^{×}, ℤ_{p}) s’identifie à un sous-ℤ_{p}-module invariant de C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p}) et on pose :

C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p}) =^{déf} C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})/ C^{0,lc}(ℤ̂^{×}, ℤ_{p}).

C’est un ℤ_{p}-module sans torsion muni des actions de T(𝔸_{f}) et Gal(\overline{ℚ}/ℚ) induites par leurs actions sur C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p}) (elles-mêmes déduites de l’action de T(𝔸_{f}) sur Ĉ). Ces actions commutent avec celle de GL_{2}(𝔸_{f}).

Proposition 3.1.1. — Le ℤ_{p}-module M̂ muni des actions de Gal(\overline{ℚ}/ℚ), de GL_{2}(ℚ_{p}) et de 𝕋 est isomorphe au sous-ℤ_{p}-module C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)} de C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p}) muni des actions induites ci-dessus de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) et GL_{2}(ℚ_{p}), et où l’action de T_{ℓ} (resp. S_{ℓ}) pour ℓ ∤ Mp est l’action de la double classe GL_{2}(ℤ_{ℓ})(\begin{matrix}ℓ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})GL_{2}(ℤ_{ℓ})

(resp. GL_{2}(ℤ_{ℓ})(\begin{matrix}ℓ & 0 \\ 0 & ℓ \end{matrix})GL_{2}(ℤ_{ℓ})) dans l’algèbre de Hecke de GL_{2}(ℤ_{ℓ}) dans GL_{2}(ℚ_{ℓ}).

Démonstration. — C’est un résultat bien connu, qui s’obtient par exemple en passant à la limite projective sur n dans la suite exacte (1) de [9, §2.1]. Pour la comparaison de l’action classique de 𝕋 sur M̂ avec l’action de l’algèbre de Hecke (en les premiers ℓ, (ℓ, M) = 1) sur C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)}, cf. la preuve de [21, Prop.4.4.2].

Il va être nécessaire de décrire explicitement l’action de 𝕋 sur C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)}. Si a ∈ ℤ_{Mp}^{×}, on note a_{p} ∈ ℤ_{p}^{×} l’image de a par la projection naturelle ℤ_{Mp}^{×} ↠ ℤ_{p}^{×} et â ∈ ℤ̂^{×} un élément quelconque de ℤ̂^{×} qui s’envoie sur a par la projection naturelle ℤ̂^{×} ↠ ℤ_{Mp}^{×}. Comme l’action de T(𝔸_{f}) sur C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p}) commute avec l’action de GL_{2}(𝔸_{f}), elle préserve le sous-module C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)}. Nous allons utiliser cette action de T(𝔸_{f}) pour définir deux actions de ℤ_{Mp}^{×} sur C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)}. Pour a ∈ ℤ_{Mp}^{×}, f ∈ C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)} et ĉ ∈ Ĉ, posons :

(⟨a⟩_{1}f)(ĉ) =^{déf} a_{p}f((\begin{matrix}â^{−1} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})ĉ)

(ici a_{p} agit simplement par la multiplication par a_{p} ∈ ℤ_{p}^{×}) et :

(⟨a⟩_{2}f)(ĉ) =^{déf} f((\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & â^{−1} \end{matrix})ĉ).

Ces actions sont bien définies indépendamment du choix du relevé â, ce que l’on peut vérifier en utilisant l’identification :

(10)  C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)} = C^{0}(Ĉ/K_{1}^{p}(M), ℤ_{p}),

où le module de droite est le module des fonctions continues sur Ĉ/K_{1}^{p}(M) ⟶^{∼} T(ℚ)^{+}N(𝔸_{f})\GL_{2}(𝔸_{f})/K_{1}^{p}(M) à valeurs dans ℤ_{p}. Chacune de ces actions préserve le sous-module C^{0,lc}(ℤ̂^{×}, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)} de C^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)} et induit donc une action (notée de la même manière) de ℤ_{Mp}^{×} sur C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)}.

Lemme 3.1.2. — Si ℓ ne divise pas Mp, l’action de T_{ℓ} (resp. de ℓS_{ℓ}) sur C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)} est donnée par ⟨ℓ⟩_{1} + ⟨ℓ⟩_{2} (resp. par ⟨ℓ⟩_{1}⟨ℓ⟩_{2}).

Démonstration. — C’est un calcul facile en utilisant (10) et la description adélique de Ĉ donnée par (8).

Corollaire 3.1.3. — Le module de Hecke M̂ est Eisenstein.

Démonstration. — Soit L une extension finie de ℚ_{p} dans \overline{ℚ}_{p} et λ un système de valeurs propres de Hecke tel que M̂_{L}^{λ} ≠ 0. Par la proposition 3.1.1, on peut transférer les deux actions ⟨ ⟩_{1} et ⟨ ⟩_{2} de ℤ_{Mp}^{×} sur C̃^{0,lc}(Ĉ, ℤ_{p})^{K_{1}^{p}(M)} en actions sur M̂, et donc sur M̂ ⊗_{ℤ_{p}} L. Ces actions préservent M̂_{L}^{λ} ≠ 0 et, par le lemme 3.1.2, vérifient les égalités :

(11)  ⟨ℓ⟩_{1} + ⟨ℓ⟩_{2} = λ(T_{ℓ}), ⟨ℓ⟩_{1}⟨ℓ⟩_{2} = ℓλ(S_{ℓ}).

Les automorphismes ⟨ℓ⟩_{i} (i = 1, 2) de M̂_{L}^{λ} satisfont donc ⟨ℓ⟩_{i}^{2} −λ(ℓ)⟨ℓ⟩_{i} +ℓλ(S_{ℓ}) = 0. Quitte à agrandir L, on peut factoriser ces équations quadratiques sur L (pour tout ℓ), et conclure que M̂_{L}^{λ} contient un sous-espace non-nul sur lequel ⟨ ⟩_{1} et ⟨ ⟩_{2} agissent par un caractère de ℤ_{Mp}^{×}. De plus, ces caractères sont forcément continus car tel est le cas des automorphismes ⟨ ⟩_{1} and ⟨ ⟩_{2}. Par (11), le système de valeurs propres est bien Eisenstein.

3.2. On définit le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach p-adique Π_{p}(f) associé à une forme modulaire f.

Pour tout k ≥ 2 et tout (M, r) comme au §3.1, on note V_{k−2} le système local sur Y_{1}(M; p^{r}) associé à la représentation Sym^{k−2} ℚ_{p}^{2} de GL_{2}(ℚ) et on pose :

H^{1}(K_{1}^{p}(M), V_{k−2}) =^{déf} lim_{\overrightarrow{r}} H^{1}(Y_{1}(M; p^{r}), V_{k−2}),
H_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M), V_{k−2}) =^{déf} lim_{\overrightarrow{r}} H_{c}^{1}(Y_{1}(M; p^{r}), V_{k−2}).

Ces espaces sont naturellement munis d’actions de Gal(\overline{ℚ}/ℚ), GL_{2}(ℚ_{p}) et 𝕋 qui commutent entre elles. De plus, l’action de GL_{2}(ℚ_{p}) est lisse. Par [21, §4.3], pour toute extension finie L de ℚ_{p}, on a une injection commutant à GL_{2}(ℚ_{p}) et 𝕋 :

(12)  (Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{ℚ_{p}} H_{∗}^{1}(K_{1}^{p}(M), V_{k−2}) ↪ Ĥ_{∗}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L},

(où ∗ ∈ {∅, c}) dont l’image est exactement le sous-espace de Ĥ_{∗}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} des vecteurs (Sym^{k−2}L^{2})^{∨}-localement algébriques.

Soit f une forme modulaire parabolique normalisée de poids k ≥ 2 , niveau N et caractère χ : (ℤ/Nℤ)^{×} → \overline{ℚ}^{×} définie sur une extension finie L de ℚ_{p} dans \overline{ℚ_{p}}. On suppose f vecteur propre des opérateurs de Hecke T_{ℓ} pour ℓ ∤ N et on note a_{ℓ} ∈ L la valeur propre associée. Si N = Mp^{r} (r ≥ 0, (M, p) = 1), on a par Eichler-Shimura un isomorphisme Gal(\overline{ℚ}/ℚ)- et GL_{2}(ℚ_{p})-équivariant :

(13)  σ(f) ⊗_{L} π_{p}(f) ⊗_{L} π^{p}(f)^{K_{1}^{p}(M)} ⟶^{∼} H_{∗}^{1}(K_{1}^{p}(M), V_{k−2})^{f}

où ∗ ∈ {∅, c} et où le L-espace vectoriel non-nul π^{p}(f)^{K_{1}^{p}(M)} est de dimension 1 exactement lorsque f est nouvelle en M. Combinant (13) et (12), on obtient une injection compatible aux actions de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) et GL_{2}(ℚ_{p}) :

(14)  σ(f) ⊗_{L} ((Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{L} π_{p}(f) ⊗_{L} π^{p}(f)^{K_{1}^{p}(M)}) ↪ Ĥ_{∗}^{1}(K_{1}^{p}(M))^{f}.

Supposons f nouvelle en M, notons π̂_{p}(f) l’adhérence dans Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} de la représentation localement algébrique (Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{L} π_{p}(f) via un plongement issu de (14) (c’est indépendant du plongement) et posons :

Π_{p}(f) =^{déf} Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)}(σ(f), Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})

que l’on munit de l’action de GL_{2}(ℚ_{p}) induite par l’action sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}. Les deux L-espaces vectoriels π̂_{p}(f) et Π_{p}(f) sont des GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaires admissibles et on a une immersion fermée GL_{2}(ℚ_{p})-équivariante π̂_{p}(f) ↪ Π_{p}(f). Il n’est pas difficile de vérifier que π̂_{p}(f) est aussi l’adhérence de (Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{L} π_{p}(f) dans Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} ([9, Prop.2.2.3]). Montrer que la composante σ(f)-isoty-pique de Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} redonne encore Π_{p}(f) requiert quelques préliminaires.

Lemme 3.2.1. — L’ensemble des nombres premiers ℓ ne divisant pas Mp tels que l’image de Frob_{ℓ} par σ(f) est scalaire est de densité nulle.

Démonstration. — Si P désigne l’ensemble de tous les nombres premiers et S ⊆ P un sous-ensemble quelconque, rappelons que la densité de S (lorsqu’elle existe) est par définition :

d(S) =^{déf} lim_{x→+∞} \frac{#\{ℓ ∈ S | ℓ ≤ x\}}{#\{ℓ ∈ P | ℓ ≤ x\}} ≤ 1.

Soit σ(f)^{0} : Gal(\overline{ℚ}/ℚ) → GL_{2}(O_{L}) un O_{L}-réseau stable par Gal(\overline{ℚ}/ℚ) dans σ(f) et S (resp. S_{n} pour n ∈ ℤ_{>0}) l’ensemble des nombres premiers ℓ ne divisant pas Mp tels que l’image de Frob_{ℓ} par σ(f) (resp. σ(f)^{0} ⊗_{O_{L}} O_{L}/p^{n}O_{L}) est scalaire. Notons G_{n} ⊆ PGL_{2}(O_{L}/p^{n}O_{L}) l’image de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) par la représentation projective :

Gal(\overline{ℚ}/ℚ) ⟶^{σ(f)^{0}} GL_{2}(O_{L}) ↠ GL_{2}(O_{L}/p^{n}O_{L}) ↠ PGL_{2}(O_{L}/p^{n}O_{L})

et K_{n} ⊂ \overline{ℚ} l’extension galoisienne finie de ℚ telle que Gal(K_{n}/ℚ) →^{∼} G_{n}. Le théorème de Čebotarev (voir e.g. [43, §2.1]) appliqué à l’extension K_{n}/ℚ implique que d(S_{n}) existe et vaut :

d(S_{n}) = \frac{1}{#Gal(K_{n}/ℚ)} = \frac{1}{#G_{n}} .

Or, par [39, Th.4.3], l’image de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) dans PGL_{2}(O_{L}) donnée par la représentation σ(f)^{0} “projectivisée” est infinie, donc le cardinal de G_{n} tend vers +∞ avec n, d’où :

lim_{n→+∞} d(S_{n}) = 0. (15)

Mais pour tout n, on a :

0 ≤ lim sup_{x→+∞} \frac{#\{ℓ ∈ S | ℓ ≤ x\}}{#\{ℓ ∈ P | ℓ ≤ x\}} ≤ lim sup_{x→+∞} \frac{#\{ℓ ∈ S_{n} | ℓ ≤ x\}}{#\{ℓ ∈ P | ℓ ≤ x\}} = d(S_{n})

d’où avec (15) en faisant n → +∞ :

lim sup_{x→+∞} \frac{#\{ℓ ∈ S | ℓ ≤ x\}}{#\{ℓ ∈ P | ℓ ≤ x\}} = 0 = lim_{x→+∞} \frac{#\{ℓ ∈ S | ℓ ≤ x\}}{#\{ℓ ∈ P | ℓ ≤ x\}} = d(S)

ce qui achève la preuve.

Si S est un ensemble de nombres premiers ne divisant pas Mp et X un module de Hecke, on note :

X_{L}^{S,f} =^{déf} {x ∈ X ⊗_{ℤ_{p}} L | ∀ ℓ ∈ S, T_{ℓ}x = a_{ℓ}x, S_{ℓ}x = ℓχ(ℓ)x}.

Lemme 3.2.2. — Soit S un ensemble de nombres premiers ne divisant pas Mp de densité 1, les injections Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{S,f} ↪ Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f} et Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{S,f} ↪ Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f} sont des isomorphismes.

Démonstration. — Notons (Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) ⊗_{ℤ_{p}} O_{L})^{S,f} =^{déf} (Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) ⊗_{ℤ_{p}} O_{L}) ∩ Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{S,f} et soit x = (x_{n}) ∈ (Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) ⊗_{ℤ_{p}} O_{L})^{S,f} où :

x_{n} ∈ H_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M), O_{L}/p^{n}O_{L}) =^{déf} lim_{\overrightarrow{m}} H_{c}^{1}(Y_{1}(M; p^{m}), O_{L}/p^{n}O_{L}).

Il suffit de montrer que, ∀ n, T_{ℓ}x_{n} = a_{ℓ}x_{n} et S_{ℓ}x_{n} = ℓχ(ℓ)x_{n} pour tout ℓ premier ne divisant pas Mp. Soit m tel que x_{n} ∈ H_{c}^{1}(Y_{1}(M; p^{m}), O_{L}/p^{n}O_{L}), ℓ un nombre premier ne divisant pas Mp, x̂_{n} un relevé de x_{n} dans H_{c}^{1}(Y_{1}(M; p^{m}), O_{L}) et (ℓ_{i})_{i∈ℕ} une suite de nombres premiers dans S telle que, dans le groupe de Galois de l’extension maximale de ℚ non-ramifiée en dehors de Mp, on ait Frob_{ℓ_{i}} → Frob_{ℓ} quand i → +∞ (notons que cela implique ℓ_{i} tend vers ℓ dans ℤ_{p}^{×}). Une telle suite existe par le théorème de Čebotarev puisque S est de densité 1. Par les relations d’Eichler-Shimura (et la structure galoisienne connue de H_{c}^{1}(Y_{1}(M; p^{m}), O_{L}) ⊗ L), on a alors aussi T_{ℓ_{i}} → T_{ℓ} et S_{ℓ_{i}} → S_{ℓ} comme endomorphismes de H_{c}^{1}(Y_{1}(M; p^{m}), O_{L}). En particulier, pour i ≫ 0, on a T_{ℓ_{i}}x_{n} = a_{ℓ_{i}}x_{n} = a_{ℓ}x_{n} et T_{ℓ_{i}}x_{n} = T_{ℓ}x_{n} d’où T_{ℓ}x_{n} = a_{ℓ}x_{n}. De même pour i ≫ 0, on a S_{ℓ_{i}}x_{n} = ℓ_{i}χ(ℓ_{i})x_{n} = ℓχ(ℓ)x_{n} et S_{ℓ_{i}}x_{n} = S_{ℓ}x_{n} d’où S_{ℓ}x_{n} = ℓχ(ℓ)x_{n}. La preuve pour Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} est la même.

Proposition 3.2.3. — On a :

Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)}(σ(f), Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f}) ⟶^{∼} Π_{p}(f).

Démonstration. — Notons S l’ensemble des nombres premiers ne divisant pas Mp tels que Frob_{ℓ} n’est pas scalaire sur σ(f). Par le lemme 3.2.1, S est de densité 1 et par le lemme 3.2.2, il suffit de montrer l’énoncé avec Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{S,f} au lieu de Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f}. Munissons Π_{p}(f) de l’action des opérateurs de Hecke induite par leur action sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} (qui commute avec celle de Gal(\overline{ℚ}/ℚ)). Il suffit de montrer que, pour tout x ∈ Π_{p}(f) et tout ℓ ∈ S, on a T_{ℓ}(x) = a_{ℓ}x et S_{ℓ}(x) = ℓ^{k−2}χ(ℓ)x. On a une injection canonique Galois- et Hecke-équivariante :

σ(f) ⊗_{O_{L}} Π_{p}(f) ↪ Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}
v ⊗ x ↦ x(v)

(l’injection résultant de l’irréductibilité de σ(f)). Soit (v, x) ∈ σ(f) × Π_{p}(f), les relations d’Eichler-Shimura Frob_{ℓ}^{−2} − T_{ℓ} ∘ Frob_{ℓ}^{−1} + ℓS_{ℓ} = 0 (encore valables sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) par passage à la limite sur les relations à niveau fini) et les propriétés de σ(f)|_{Gal(\overline{ℚ}_{ℓ}/ℚ_{ℓ})} impliquent l’égalité :

−Frob_{ℓ}^{−1}(v) ⊗ (T_{ℓ} − a_{ℓ})(x) + v ⊗ (ℓS_{ℓ} − ℓ^{k−1}χ(ℓ))(x) = 0

dans σ(f) ⊗_{L} Π_{p}(f) pour tout v ∈ σ(f) et tout x ∈ Π_{p}(f). Comme Frob_{ℓ} n’est pas scalaire sur σ(f), en fixant x et en faisant varier v dans σ(f), on en déduit aisément (T_{ℓ} − a_{ℓ})(x) = 0 et (S_{ℓ} − ℓ^{k−2}χ(ℓ))(x) = 0.

Proposition 3.2.4. — On a :

Π_{p}(f)→^{∼}Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)}(σ(f), Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f})→^{∼}Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)}(σ(f), Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}).

Démonstration. — L’isomorphisme de gauche se prouve exactement comme celui de la proposition 3.2.3 grâce aux lemmes 3.2.1 et 3.2.2. Il suffit donc de montrer que l’application naturelle : (16) Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)} (σ(f), (Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f}) ⟶ Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)} (σ(f), (Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f})

est un isomorphisme. Notons 𝕋_{O_{L}} =^{déf} 𝕋 ⊗_{ℤ_{p}} O_{L} et I ⊂ 𝕋_{O_{L}} l’idéal engendré par T_{ℓ} − a_{ℓ} et S_{ℓ} − ℓ^{k−2}χ(ℓ). La surjection (7) induit une suite exacte :

0 ⟶ M̂_{L} ⟶ Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} ⟶ Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} ⟶ 0.

En appliquant le functeur Hom_{𝕋_{O_{L}}}(𝕋_{O_{L}}/I, –), on obtient une suite exacte :

0 ⟶ (M̂_{L})^{f} ⟶ (Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f} ⟶ (Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f}
⟶ Ext_{𝕋_{O_{L}}}^{1}(𝕋_{O_{L}}/I, M̂_{L}).

On a (M̂_{L})^{f} = 0 par le corollaire 3.1.3 car f est parabolique, d’où une suite exacte :

0 ⟶ (Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f}⟶(Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f}⟶Ext_{𝕋_{O_{L}}}^{1}(𝕋_{O_{L}}/I, M̂_{L}),

qui induit une nouvelle suite exacte :

0 ⟶ Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)} (σ(f), (Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f})

⟶ Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)} (σ(f), (Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L})^{f})

⟶ Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)} (σ(f), Ext_{𝕋_{O_{L}}}^{1}(𝕋_{O_{L}}/I, M̂_{L})).

Par la proposition 3.1.1, l’action de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) sur M̂_{L} se factorise par Gal(\overline{ℚ}/ℚ)^{ab} et il en est donc de même de l’action de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) sur Ext_{𝕋_{O_{L}}}^{1}(𝕋_{O_{L}}/I, M̂_{L}). Comme σ(f) est une Gal(\overline{ℚ}/ℚ)-représentation absolument irréductible, on en déduit :

Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)} (σ(f), Ext_{𝕋_{O_{L}}}^{1}(𝕋_{O_{L}}/I, M̂_{L})) = 0

d’où l’isomorphisme recherché.

3.3. On énonce la conjecture de compatibilité local-global 1.1.1 de l’introduction.

On fixe une forme modulaire comme au §3.2 avec f nouvelle sur Γ_{1}(Mp^{r}) et on suppose de plus que π_{p}(f) est une série principale de sorte que l’on peut écrire :

(Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{L} π_{p}(f) = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lp,≤k−2}

où χ_{1} ⊗ χ_{2} ∈ T̂(L) est de poids classique k, χ_{2} est localement constant et χ_{1}χ_{2} = ε^{2−k}χ_{p}^{−1} (χ_{p} est la composante locale en p de χ vu comme caractère

de 𝔸_{f}^{×}). On pose σ_{p}(f) =^{déf} σ(f) |_{Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p})}. Dans ce cas, par [40] σ_{p}(f) devient cristalline sur l’extension abélienne totalement ramifiée ℚ_{p}(ζ_{p^{r}}). On suppose enfin σ_{p}(f) réductible ou, ce qui est équivalent quitte à modifier χ_{1} et χ_{2} en utilisant l’entrelacement sur les induites lisses, val(χ_{2}(p)) = k − 1 et val(χ_{1}(p)) = 1 − k.

On pose η_{1} =^{déf} χ_{1} | |^{1−k} ε^{k−2}, η_{2} =^{déf} χ_{2} | |^{k−1} ε^{2−k} et on a comme au §2.3 :

σ_{p}(f) ≃ (\begin{matrix}χ_{1} | |^{1−k} ε^{k−2} & ∗ \\ 0 & χ_{2} | |^{k−1} ε^{1−k} \end{matrix}) = (\begin{matrix}η_{1} & ∗ \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}) .

La nullité ou non de ∗ (rappelons que si ∗ est non-nul, il n’y a qu’une seule extension possible) est liée au paramètre de la filtration de Hodge sur le φ-module filtré D_{p}(f) =^{déf} D_{pcris}(σ_{p}(f)). On montre en effet facilement (cf. [31]) :

D_{p}(f) = Le_{1} ⊕ Le_{2}
φ(e_{1}) = χ_{2}(p)e_{1}
φ(e_{2}) = p^{k−1}χ_{1}(p)e_{2}
Fil^{i}D_{p}(f)_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})} = D_{p}(f)_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})}, i ≤ 0
Fil^{i}D_{p}(f)_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})} = ℚ_{p}(ζ_{p^{r}}) ⊗_{ℚ_{p}} L · (e_{1} + δxe_{2}), 1 ≤ i ≤ k − 1
Fil^{i}D_{p}(f)_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})} = 0, i ≥ k

où D_{p}(f)_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})} =^{déf} ℚ_{p}(ζ_{p^{r}}) ⊗_{ℚ_{p}} D_{p}(f), x ∈ (ℚ_{p}(ζ_{p^{r}}) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{×} ne dépend que des

caractères χ_{1}z^{k−2} et χ_{2} et δ ∈ {0, 1} est le � paramètre � de la filtration de Hodge. Il y a aussi une action de Gal(ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})/ℚ_{p}) sur D_{p}(f) préservant Fil^{k−1}D_{p}(f)_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})} que l’on ne donne pas ici (voir [31]). On voit que σ_{p}(f) est scindée si et seulement si δ = 0.

Proposition 3.3.1. — On a un isomorphisme topologique GL_{2}(ℚ_{p})-équiva-riant :

π̂_{p}(f) ≃ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}}.

En particulier π̂_{p}(f) est topologiquement irréductible et s’identifie au complété de (Sym^{k−2}L^{2})^{∨} ⊗ π_{p}(f) par rapport à un (quelconque) O_{L}-réseau de type fini sur O_{L}[GL_{2}(ℚ_{p})].

Démonstration. — La deuxième partie de l’énoncé, c’est-à-dire la description et les propriétés du complété de (Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{L}π_{p}(f) par rapport à un O_{L}-réseau de type fini stable par GL_{2}(ℚ_{p}), est le contenu de la proposition 2.2.1. La première résulte du fait que tous les O_{L}-réseaux stables par GL_{2}(ℚ_{p}) dans (Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{L} π_{p}(f), et en particulier celui induit par l’intersection avec Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)), induisent des normes équivalentes, ce qui découle facilement de la deuxième partie (voir e.g. [4],Cor.5.4.4).

Par ailleurs, on a associé au §2.3 à la représentation réductible σ_{p}(f) un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire B(σ_{p}(f)) de longueur 2, extension de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗

η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} par π̂_{p}(f) et scindé (comme représentation topologique de GL_{2}(ℚ_{p})) si et seulement si σ_{p}(f) l’est (comme représentation de Gal(\overline{ℚ_{p}}/ℚ_{p})).

Conjecture 3.3.2. — L’immersion fermée π̂_{p}(f) ↪ Π_{p}(f) se prolonge en un isomorphisme topologique GL_{2}(ℚ_{p})-équivariant :

B(σ_{p}(f)) →^{∼} Π_{p}(f).

Cette conjecture, dont nous montrons une version faible dans la suite, doit être vue comme une compatibilité local-global dans le cadre d’une � correspondance de Langlands p-adique �. En effet, elle affirme que la représentation de GL_{2}(ℚ_{p}) induite par la théorie globale (la représentation Π_{p}(f)) est une représentation locale � au sens de Fontaine � (la représentation B(σ_{p}(f)). Comme dans le cas semi-stable ([8],[9],[18]), la composante σ(f)-isotypique du Banach Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} devrait donc contenir une information exactement � équivalente � à la donnée de σ_{p}(f), ou de son module filtré.

Lorsque σ_{p}(f) est scindée, nous verrons que le deuxième morceau qui apparaît dans Π_{p}(f), à savoir le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}}, est une manifestation de l’existence dans ce cas d’une forme modulaire surconvergente compagnon de la forme classique f. Sa réduction modulo p est d’ailleurs exactement une forme compagnon de f au sens de Serre ([33], [37], [29]).

4. Formes compagnons surconvergentes

On montre que, lorsque f est une forme ordinaire en p (et donc en particulier comme au §3.3), la représentation σ_{p}(f) est scindée si et seulement si une certaine forme modulaire de pente k − 1 associée à f est de la forme θ^{k−1}(g) où g est une forme surconvergente ordinaire de poids 2 − k (théorème 1.1.3 de l’introduction).

4.1. On rappelle brièvement l’interprétation en termes de théorie des représentations des notions classiques de � pente finie � et de � valeur propre de U_{p} �.

Supposons que f est une forme nouvelle comme au §3.3, et donc que π_{p}(f) est une série principale. Avec les notations du §3.3, rappelons que l’on a :

π_{p}(f) = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−2} ⊗ χ_{2})^{lc}.

La forme nouvelle f est de pente finie si et seulement si l’un au moins des caractères χ_{1}z^{k−2} ou χ_{2} est non-ramifié. Si les deux sont non-ramifiés, alors f est de conducteur premier à p et est vecteur propre de T_{p} de polynôme de Hecke en p X^{2} −(χ_{1}(p)p^{k−1} +χ_{2}(p))X +χ(p)p^{k−1} (utiliser χ_{1}χ_{2} = χ_{p}^{−1} et χ_{p}(p)^{−1} = χ(p)). La forme f donne alors lieu à deux formes � p-stabilisées � vieilles en p, de pente finie et vecteurs propres de U_{p} pour les valeurs propres α_{p} =^{déf} χ_{2}(p) et β_{p} =^{déf} p^{k−1}χ_{1}(p). Par exemple, f(z) − β_{p}f(pz) est la vieille forme de valeur propre α_{p} (et de pente k − 1).

Si un seul des deux caractères χ_{1}z^{k−2} ou χ_{2} est non-ramifié, quitte à appliquer un entrelacement comme au §3.3 si nécessaire, on peut supposer que χ_{1}z^{k−2} est non-ramifié. Dans ce cas, p divise le conducteur de f et f est vecteur propre de U_{p}, de valeur propre p^{k−1}χ_{1}(p).

Soit χ_{0} la p-partie de χ (un caractère de (ℤ/p^{r}ℤ)^{×}) et notons f̃ la forme nouvelle attachée à la forme modulaire tordue f ⊗ χ_{0}^{−1} (qui n’est pas nouvelle, cf. ci-dessous). Alors, on a :

π_{p}(f̃) = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−2}χ_{0}⊗χ_{2}χ_{0})^{lc} = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{2} | |χ_{0}⊗χ_{1}z^{k−2} | |^{−1} χ_{0})^{lc}

(où l’on a étendu χ_{0} en un caractère de ℚ_{p}^{×} en posant χ_{0}(p) = 1). Le caractère χ_{2} | | χ_{0} étant non-ramifié, la discussion précédente montre que f̃ est de pente finie (= k −1) pour la valeur propre χ_{2}(p) de U_{p} (il est alors clair que f̃ ≠ f ⊗χ_{0}^{−1} puisque cette dernière forme est annulée par U_{p}). Dans la suite, nous utiliserons la formule bien connue pour f̃:

f̃(z) = (f |_{w_{p^{r}}})(z) =^{déf} (Ncz + p^{r}d)^{k}f(\frac{p^{r}az + b}{Ncz + p^{r}d})

où w_{p^{r}} =^{déf} (\begin{matrix}p^{r}a & b \\ Nc & p^{r}d \end{matrix}) avec a, b, c, d ∈ ℤ, b ≡ 1 mod p^{r}, a ≡ 1 mod M et p^{r}ab −

Mcd = 1 (on vérifie cette formule par un calcul adélique, on peut aussi utiliser les formules explicites de [30, §6] par exemple).

4.2. On donne quelques préliminaires sur la connexion de Gauss-Manin pour les courbes modulaires et l’opérateur θ^{k−1} (voir [12] et le début de [15] par exemple).

Dans tout ce qui suit, on utilise sans commentaire le fait que la cohomologie d’un faisceau cohérent sur un schéma propre X sur ℚ_{p} est la même que celle du faisceau “image inverse” sur la variété rigide analytique déduite de X (GAGA rigide).

On fixe d’abord un entier N > 4 et on note π : E → X_{1}(N) la courbe elliptique généralisée universelle au-dessus de la courbe modulaire usuelle X_{1}(N) (associée au groupe de congruence Γ_{1}(N)) propre sur le corps ℚ_{p}, C ⊂ X_{1}(N) le sousschéma fermé des pointes, C̃ =^{déf} π^{−1}(C), ω =^{déf} π_{∗}Ω_{E/X_{1}(N)}^{1}(log C̃) et :

H_{k−2} =^{déf} Sym^{k−2}(R^{1}π_{∗}Ω_{E/X_{1}(N)}^{·}(log C̃))

(avec H_{0} = O_{X_{1}(N)}). Rappelons que le faisceau ω est inversible sur X_{1}(N), le faisceau R^{1}π_{∗}Ω_{E/X_{1}(N)}^{·}(log C̃) localement libre de rang 2 et le faisceau H_{k−2} localement libre de rang k − 1. On a de plus une filtration canonique décroissante (Fil^{i}H_{k−2})_{i∈ℤ} sur H_{k−2} par des sous-O_{X_{1}(N)}-modules Fil^{i}H_{k−2} localement facteurs directs (la filtration de Hodge) tels que :

Fil^{i}H_{k−2} = H_{k−2}, i ≤ 0
Fil^{i}H_{k−2} localement libre de rang k − 1 − i, 1 ≤ i ≤ k − 2
Fil^{i}H_{k−2} = 0, i ≥ k − 1.

Cette filtration se détermine à partir de Fil^{1}H_{1} = ω et Fil^{i}H_{r}·Fil^{j}H_{s} = Fil^{i+j}H_{r+s} pour 0 ≤ i ≤ r et 0 ≤ j ≤ s. On a donc Fil^{k−2}H_{k−2} = ω^{k−2} et, plus généralement, on montre que, pour 0 ≤ i ≤ k − 2, gr^{i}H_{k−2} ≃ ω^{2i−k+2}. La connexion de Gauss-Manin s’étend en un complexe de de Rham logarithmique :

H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log) : H_{k−2} ⟶^{∇} H_{k−2} ⊗_{O_{X_{1}(N)}} Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C)

et vérifie la transversalité de Griffiths, i.e. définit des sous-complexes pour i ∈ ℤ :

Fil^{i}H_{k−2} →^{∇} Fil^{i−1}H_{k−2} ⊗_{O_{X_{1}(N)}} Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C).

De plus, elle induit des isomorphismes sur les gradués pour 0 ≤ i ≤ k − 2 :

ω^{2i−k+2} →^{{∇ \atop ∼}} ω^{2i−k} ⊗_{O_{X_{1}(N)}} Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C) (17)

(si k = 2i, il s’agit simplement de l’isomorphisme de Kodaira-Spencer ω^{2} ≃ Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C)). Si l’on note Fil^{i}ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) le groupe de cohomologie :

ℍ^{1}(X_{1}(N), Fil^{i}H_{k−2} →^{∇} Fil^{i−1}H_{k−2} ⊗_{O_{X_{1}(N)}} Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C)),

on vérifie par un calcul cohomologique évident à partir de (17) que l’on a une injection Fil^{1}ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ↪ ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)), que Fil^{i}ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) est constant si 1 ≤ i ≤ k − 1 et que :

Fil^{k−1}ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ≃ H^{0}(X_{1}(N), ω^{k−2}⊗_{O_{X_{1}(N)}} Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C))
≃ H^{0}(X_{1}(N), ω^{k})

(via Kodaira-Spencer). Rappelons enfin que l’application composée :

ψ : Fil^{1}H_{k−2} ↪ H_{k−2} ⟶^{∇} H_{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C) ↠ (H_{k−2}/Fil^{k−2}H_{k−2}) ⊗ Ω^{1}(log C)

est un isomorphisme (utiliser (17)) qui induit un morphisme ℚ_{p}-linéaire canonique de faisceaux sur X_{1}(N) :

ω^{−k+2} ≃ gr^{0}H_{k−2} ⟶ Fil^{k−2}H_{k−2} ⊗ Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C) ≃ ω^{k}
\overline{s} ⟼ ∇(s − ψ^{−1}(\overline{∇(s)}))

où s est un relevé quelconque de \overline{s} dans H_{k−2} et \overline{∇(s)} l’image de ∇(s) dans (H_{k−2}/Fil^{k−2}H_{k−2}) ⊗ Ω_{X_{1}(N)/ℚ_{p}}^{1}(log C). Si U ⊂ X_{1}(N) est un ouvert connexe quelconque de la variété rigide associée à X_{1}(N) et contenant la pointe à l’infini, l’application induite H^{0}(U, ω^{2−k}) → H^{0}(U, ω^{k}) s’identifie à \frac{(−1)^{k}}{k!} θ^{k−1} sur les qdéveloppements où θ est l’opérateur q(d/dq) sur ℚ_{p}[[q]] (voir [15, §9] pour plus de détails). Par abus de notation, pour tout ouvert rigide U ⊂ X_{1}(N) (pas forcément connexe) on note encore θ^{k−1} : H^{0}(U, ω^{2−k}) → H^{0}(U, ω^{k}) l’application précédente multipliée par k!(−1)^{k}.

Lemme 4.2.1. — Soit U un ouvert quasi-Stein de X_{1}(N) vue comme variété rigide sur ℚ_{p}. L’injection :

H^{0}(U, ω^{k}) ≃ H^{0}(U, ω^{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C)) ↪ H^{0}(U, H_{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C))

induit un isomorphisme :

\frac{H^{0}(U, ω^{k})}{θ^{k−1}(H^{0}(U, ω^{2−k}))} ⟶^{∼} \frac{H^{0}(U, H_{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C))}{∇(H^{0}(U, H_{k−2}))}
≃ ℍ^{1}(U, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)).

Démonstration. — Le deuxième isomorphisme résulte du fait que H^{q}(U, F) = 0 pour tout q > 0 et tout faisceau cohérent F sur U. On a une suite exacte de faisceaux sur X_{1}(N) (avec les notations ci-dessus) :

0 ⟶ gr^{0}H_{k−2} ⟶  H_{k−2}  ⟶ Fil^{1}H_{k−2} ⟶ 0
\overline{s}  ↦ s − ψ^{−1}(\overline{∇(s)})
t  ↦ ψ^{−1}(\overline{∇(t)})

qui s’inscrit dans une suite exacte de complexes de faisceaux :

0 ⟶  gr^{0}H_{k−2}  ⟶  H_{k−2}  ⟶  Fil^{1}H_{k−2}  ⟶ 0
\frac{(−1)^{k}}{k!} θ^{k−1} ↓  ↓ ∇  ↓ ψ
0 ⟶ Fil^{k−2}H_{k−2}⊗Ω^{1}(log C) ⟶ H_{k−2}⊗Ω^{1}(log C) ⟶ \frac{H_{k−2}}{Fil^{k−2}H_{k−2}} ⊗Ω^{1}(log C) ⟶ 0.

Le ℍ^{1} du complexe de gauche s’identifie à \frac{H^{0}(U,ω^{k})}{θ^{k−1}(H^{0}(U,ω^{2−k}))} car U est quasi-Stein. La suite exacte longue de cohomologie associée donne alors le résultat puisque la cohomologie du complexe de droite est nulle.

Soit maintenant un entier N tel que 1 ≤ N ≤ 4. La discussion précédente ne s’applique pas telle quel car la courbe X_{1}(N) n’est plus un espace de modules fin. Nous suivons dans ce cas la méthode décrite dans l’appendice de [10]. On choisit un nombre premier q > 2, q ∤ Np et on considère la courbe modulaire X_{1}(N; q) associée au sous-groupe de congruence Γ_{1}(N) ∩ Γ(q). Le choix de q est tel que cette courbe est maintenant un espace de modules fin pour le problème de modules paramétrant les courbes elliptiques E munies d’un point d’ordre exact N et d’un isomorphisme ı : E[q] ⟶^{∼} (ℤ/qℤ)^{2}. L’action de GL_{2}(ℤ/qℤ) sur l’ensemble des isomorphismes ı induit une action de GL_{2}(ℤ/qℤ) sur X_{1}(N; q) dont le quotient est X_{1}(N). Comme X_{1}(N; q) est un espace de modules fin, la discussion précédente s’applique mutatis mutandis à X_{1}(N; q). De plus, tous les faisceaux et connexions en considération sont naturellement GL_{2}(ℤ/qℤ)-équivariants. En particulier, si on suppose dans l’analogue du lemme 4.2.1 pour X_{1}(N; q) que l’ouvert quasi-Stein U est GL_{2}(ℤ/qℤ)-invariant, alors l’isomorphisme de ce lemme est aussi GL_{2}(ℤ/qℤ)- équivariant.

4.3. On montre le théorème 1.1.3 lorsque (N, p) = 1.

On conserve les notations du §4.2 et on suppose ici de plus (N, p) = 1. On fixe f une forme modulaire comme au §3.3, de sorte que σ_{p}(f) est en particulier cristalline. Dans ce cas, χ_{p} est le caractère non-ramifié de ℚ_{p}^{×} envoyant p sur

χ(p)^{−1}, χ_{2} est non-ramifié et on pose α_{p} =^{déf} χ_{2}(p), β_{p} =^{déf} p^{k−1}χ_{1}(p). On a val(β_{p}) = 0, α_{p}β_{p} = χ(p)p^{k−1} et, d’après le §3.3 :

D_{p}(f) = Le_{1} ⊕ Le_{2}
φ(e_{1}) = α_{p}e_{1}
φ(e_{2}) = β_{p}e_{2}
Fil^{i}D_{p}(f) = D_{p}(f), i ≤ 0
Fil^{i}D_{p}(f) = L(e_{1} + δe_{2}), 1 ≤ i ≤ k − 1
Fil^{i}D_{p}(f) = 0, i ≥ k

avec δ = 0 si et seulement si σ_{p}(f) est scindée.

Supposons d’abord N > 4. Le φ-module filtré D_{p}(f) admet alors la description géométrique suivante (voir e.g. [29, §1]) :

D_{p}(f) ≃ (ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{f}
Fil^{i}D_{p}(f) ≃ (H^{0}(X_{1}(N), ω^{k}) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{f}, 1 ≤ i ≤ k − 1
= L · f

(en se rappellant que f est nouvelle) où le Frobenius φ sur D_{p}(f) provient du Frobenius cristallin φ sur ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)).

Soit X le modèle propre et lisse de X_{1}(N) sur ℤ_{p} et soit A ∈ H^{0}(X ×_{ℤ_{p}} 𝔽_{p}, ω^{p−1}) l’invariant de Hasse. Rappelons que A s’annule à l’ordre 1 en chaque point supersingulier de X ×_{ℤ_{p}} 𝔽_{p} (et ne s’annule pas aux autres points). Si x ∈ X_{1}(N)(\overline{ℚ}_{p}), notons \overline{x} la spécialisation de x dans (X ×_{ℤ_{p}} 𝔽_{p})(\overline{𝔽_{p}}). Comme il est expliqué dans l’appendice de [10], pour chaque η ∈ p^{ℚ} avec p^{−1} ≤ η < 1, on peut définir un ouvert rigide analytique quasi-Stein W (η) de X_{1}(N) via :

x ∈ W (η) ⇔|A(\overline{x})| > η.

Si p > 3, alors W (η) ⊂ X_{1}(N) est l’ouvert rigide analytique des points fermés x de X_{1}(N) vérifiant :

x ∈ W (η) ⇔|E_{p−1}(x)| > η

où E_{p−1} ∈ H^{0}(X_{1}(N), ω^{p−1}) est la série d’Eisenstein de poids p − 1 ≥ 4 et niveau 1 (voir [12, §1 et §2]).

Soit W_{1} =^{déf} W (p^{−p/(p+1)}). Comme W_{1} est quasi-Stein, on a :

ℍ^{1}(W_{1}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) = \frac{H^{0}(W_{1}, H_{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C))}{∇(H^{0}(W_{1}, H_{k−2}))}

et on a un diagramme commutatif :

H^{0}(W_{1}, ω^{k}) → ℍ^{1}(W_{1}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))
↑  ↑
H^{0}(X_{1}(N), ω^{k}) ↪ ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))

(18)

où les deux flèches verticales sont injectives (pour la deuxième, cela se déduit facilement de [2, Th.2.1 et Th.2.4]). Soit W_{2} =^{déf} W (p^{−1/(p+1)}) ⊂ W_{1}. Notons E_{2} et E_{1} les courbes elliptiques généralisées universelles au-dessus de W_{2} et W_{1}, alors on dispose d’un diagramme commutatif (cf. [12, §2]) :

\begin{matrix}E_{2} & ⟶^{Φ} & E_{1} \\ ↓ & & ↓ \\ W_{2} & ⟶^{ϕ} & W_{1} \end{matrix} (19)

qui induit par fonctorialité des applications � Frobenius � :

ϕ : H^{0}(W_{1}, ω^{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C)) ⟶ H^{0}(W_{2}, ω^{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C))
Φ : ℍ^{1}(W_{1}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⟶ ℍ^{1}(W_{2}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)).

D’un point de vue � espaces de modules �, l’application ϕ : W_{2} → W_{1} envoie (E, P) (où E est une courbe elliptique généralisée au-dessus d’un point de W_{2} et P un point rationnel sur E d’ordre � exact � N) sur (E/can, \overline{P}) où can ⊂ E est le sous-groupe canonique de E ([35, §3]) et \overline{P} l’image de P dans le quotient E/can.

Lemme 4.3.1. — Le diagramme :

ℍ^{1}(X_{1}(N),H_{k−2}⊗Ω^{·}(log)) ↪ ℍ^{1}(W_{1},H_{k−2}⊗Ω^{·}(log)) ← H^{0}(W_{1},ω^{k−2}⊗Ω^{1}(log C))
φ↓ Φ↓ ↓ϕ
ℍ^{1}(X_{1}(N),H_{k−2}⊗Ω^{·}(log)) ↪ ℍ^{1}(W_{2},H_{k−2}⊗Ω^{·}(log)) ← H^{0}(W_{2},ω^{k−2}⊗Ω^{1}(log C))

est commutatif.

Démonstration. — La commutation du carré de droite est évidente. Donnons l’essentiel des arguments pour montrer celle du carré de gauche. Pour alléger les notations, on note X =^{déf} X_{1}(N), X le modèle propre et lisse de X sur ℤ_{p}, X̂ son complété p-adique formel, \overline{X} leur fibre spéciale sur 𝔽_{p}, \overline{Z} ⊂ \overline{X} l’ouvert des points ordinaires et Z ⊂ X le tube ]\overline{Z}[X̂ de \overline{Z} dans X au sens de [5, §1]. C’est un affinoïde de X. En considérant la courbe elliptique (généralisée) universelle au-dessus de X̂, on voit que le faisceau cohérent H_{k−2} sur la variété propre X provient d’un faisceau cohérent sur X̂, évaluation sur l’épaississement \overline{X} ↪ X̂ d’un cristal E_{k−2} sur le site cristallin (\overline{X}/𝔽_{p})_{cris} (plus précisément, il faut tenir compte de log-structures aux pointes et définir plutôt E_{k−2} comme un log-cristal sur le site log-cristallin de \overline{X}/𝔽_{p} avec log-structure triviale sur 𝔽_{p}, mais pour alléger la rédaction, nous ignorons partout dans cette preuve ce point qui ne pose pas de problèmes). Le groupe ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) n’est autre que H_{cris}^{1}(\overline{X}, E_{k−2}) ⊗ ℚ_{p}. En fait, E_{k−2} est un F-cristal non dégénéré au sens de [5, §2.4.1] (utiliser le Frobenius sur la courbe elliptique universelle au-dessus de \overline{X}) et induit, par restriction, un F-isocristal surconvergent le long de \overline{X} − \overline{Z} que l’on note E_{k−2}^{†} (voir [5, §2.3]). Pour η ∈ p^{ℚ} tel que p^{−1/(p+1)} < η ≤ 1, soit Z(η) ⊂ W_{2} l’affinoïde de X dont les points fermés x sont tels que |A(\overline{x})| ≥ η. On a Z(1) = Z et les (Z(η))_{η<1} forment un système fondamental de voisinages stricts de Z dans X au sens de [5, §1.2]. De plus, on a ϕ(Z(η)) ⊂ Z(η^{p}) ⊂ W_{2} pour η > p^{−1/p(p+1)}. Par [2, Th.2.4], les restrictions ℍ^{1}(Z(η), H_{k−2} ⊗Ω^{·}(log)) → ℍ^{1}(Z(η′), H_{k−2} ⊗Ω^{·}(log)) sont des isomorphismes pour η ≤ η′. Posons :

H_{rig}^{1}(\overline{Z}, E_{k−2}^{†}) =^{déf} lim_{\overrightarrow{η<1}} ℍ^{1}(Z(η), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))

muni de son endomorphisme de Frobenius Φ induit par les Frobenius ϕ : Z(η) → Z(η^{p}) (et les Frobenius sur les courbes elliptiques universelles). La commutation du carré de gauche revient donc à montrer que la restriction :

H_{cris}^{1}(\overline{X}, E_{k−2}) ⊗ ℚ_{p} → H_{rig}^{1}(\overline{Z}, E_{k−2}^{†})

commute aux Frobenius, mais ceci est évident car du côté cristallin comme du côté rigide, l’endomorphisme de Frobenius s’obtient par fonctorialité en calculant les deux cohomologies grâce à un complexe de de Rham double sur un recouvrement ouvert de X̂ muni de relevés locaux du Frobenius.

Rappelons que toute section g ∈ H^{0}(W_{1}, ω^{k}) admet un q-développement ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(g)(c)q^{n} ∈ ℚ_{p} ⊗ ℤ_{p}[[q]] en chaque pointe c de W_{1} donné par l’évaluation de g en la courbe elliptique généralisée universelle au-dessus du complété formel de W_{1} en la pointe c.

Lemme 4.3.2. — Soit g ∈ H^{0}(X_{1}(N), ω^{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C)) ≃ H^{0}(X_{1}(N), ω^{k}) et notons φ(g) ∈ ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2}⊗Ω^{·}(log)) l’image de g par le Frobenius cristallin. Alors, φ(g) provient, via le diagramme (18), d’une section dans H^{0}(W_{1}, ω^{k}) dont le q-développement à l’infini est donné par :

∑_{n=0}^{+∞} a_{n}(φ(g))(∞)q^{n} = p^{k−1} ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}(⟨p⟩g)(∞)q^{pn}.

En particulier, si ⟨p⟩g = χ(p)g, alors φ(g) est l’image de p^{k−1}χ(p)g(pz)|_{W_{1}}.

Démonstration. — Par le lemme 4.3.1, il suffit de vérifier que, si g est une forme dans H^{0}(W_{1}, ω^{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C)) et si l’on note g(∞)(q) le q-développement de g à l’infini, alors ϕ(g) ∈ H^{0}(W_{2}, ω^{k−2} ⊗ Ω^{1}(log C)) est tel que :

ϕ(g)(∞)(q) = p^{k−1}g(⟨p⟩∞)(q^{p})

(car ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}(⟨p⟩g)(∞)q^{pn} = ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}(g)(⟨p⟩∞)q^{pn}). Pour cela, on évalue la section ϕ(g) sur la courbe de Tate (𝔾_{m}/q^{ℤ}, ζ_{N}) (avec son point d’ordre N) au-dessus du complété en la pointe à l’infini, ce qui donne, avec les notations (standard) de [29, Prop.3.1.3(1)] et sachant que can(𝔾_{m}/q^{ℤ}) = ⟨ζ_{p}⟩ :

ϕ(g)(∞)(q)\frac{dq}{q} ⊗ (\frac{dt}{t})^{k−2} = ϕ(g)(𝔾_{m}/q^{ℤ}, ζ_{N})(q)\frac{dq}{q} ⊗ (\frac{dt}{t})^{k−2}
= g(𝔾_{m}/⟨ζ_{p}, q^{ℤ}⟩, ζ_{N})(q)\frac{dq}{q} ⊗ (\frac{dt}{t})^{k−2}
= g(𝔾_{m}/q^{pℤ}, ζ_{N}^{p})(q)\frac{dq^{p}}{q^{p}} ⊗ (\frac{dt^{p}}{t^{p}} )^{k−2}
= p^{k−1}g(⟨p⟩∞)(q^{p})\frac{dq}{q} ⊗ (\frac{dt}{t})^{k−2}

d’où le résultat.

Rappelons que l’on a θ^{k−1} : H^{0}(W_{1}, ω^{2−k}) → H^{0}(W_{1}, ω^{k}) (cf. §4.2) et que f(z) − β_{p}f(pz) est de niveau Γ_{1}(Np) et vecteur propre de U_{p} de valeur propre α_{p} (cf. §4.1).

Théorème 4.3.3. — Soit f une forme parabolique propre de poids k ≥ 2 nouvelle pour le groupe Γ_{1}(N) avec (N, p) = 1 et telle que la représentation locale σ_{p}(f) est réductible. Si N > 4, alors σ_{p}(f) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H^{0}(W_{1}, ω^{2−k}) ⊗ L tel que f(z) − β_{p}f(pz) = θ^{k−1}(g) dans H^{0}(W_{1}, ω^{k}) ⊗ L. Si N ≤ 4, soit q ∤ Mp un nombre premier suffisamment grand, alors (en travaillant avec X_{1}(N; q) au lieu de X_{1}(N), cf. §4.2) σ_{p}(f) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H^{0}(W_{1}, ω^{2−k})^{GL_{2}(ℤ/qℤ)} ⊗_{ℚ_{p}} L tel que f(z) − β_{p}f(pz) = θ^{k−1}(g) dans H^{0}(W_{1}, ω^{k})^{GL_{2}(ℤ/qℤ)} ⊗_{ℚ_{p}} L.

Démonstration. — La représentation σ_{p}(f) est scindée si et seulement si, dans la description précédente de D_{p}(f), on a Fil^{k−1}D_{p}(f) = Le_{1} et φ(e_{1}) = α_{p}e_{1}. Supposons d’abord N > 4. Dans la réalisation géométrique de D_{p}(f), cela est équivalent à :

φ(f) − α_{p}f = 0

dans ℍ^{1}(X_{1}(N), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⊗ L, donc dans ℍ^{1}(W_{1}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⊗ L (car la restriction est injective). Par le Lemme 4.3.2 et le lemme 4.2.1 appliqué à l’ouvert quasi-Stein W_{1}, c’est aussi équivalent à :

p^{k−1}χ(p)f(pz) − α_{p}f(z) = 0

dans (H^{0}(W_{1}, ω^{k})/θ^{k−1}(H^{0}(W_{1}, ω^{2−k}))) ⊗ L soit finalement :

f(z) − β_{p}f(pz) ∈ θ^{k−1}(H^{0}(W_{1}, ω^{2−k}) ⊗ L).

Supposons maintenant 1 ≤ N ≤ 4. Comme au §4.2, on fixe un nombre premier auxiliaire q > 2, q ∤ Np et on travaille avec la courbe X_{1}(N; q). Le φ-module filtré D_{p}(f) admet alors la description géométrique suivante :

D_{p}(f) ≃ (ℍ^{1}(X_{1}(N; q), H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{f,GL_{2}(ℤ/qℤ)}
Fil^{i}D_{p}(f) ≃ (H^{0}(X_{1}(N; q), ω^{k}) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{f,GL_{2}(ℤ/qℤ)}, 1 ≤ i ≤ k − 1
= L · f

(car le théorème de comparaison de [29] est fonctoriel pour l’action des automorphismes GL_{2}(ℤ/qℤ)). En travaillant avec X_{1}(N; q) au lieu de X_{1}(N), on montre alors comme précédemment que σ_{p}(f) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ (H^{0}(W_{1}, ω^{2−k}) ⊗ L)^{GL_{2}(ℤ/qℤ)} tel que f(z) − β_{p}f(pz) = θ^{k−1}(g) dans (H^{0}(W_{1}, ω^{k}) ⊗ L)^{GL_{2}(ℤ/qℤ)}.

4.4. On montre le théorème 1.1.3 lorsque (N, p) > 1.

On conserve les notations et hypothèses du §4.3, à ceci près que l’on suppose maintenant N = Mp^{r} avec (M, p) = 1 et r ≥ 1. On fixe f une forme modulaire nouvelle comme au §3.3, de sorte que σ_{p}(f) devient cristalline sur ℚ_{p}(ζ_{p^{r}}). Comme r > 0, f est vecteur propre de U_{p} et on suppose de plus que f est de pente nulle, i.e. que la valuation p-adique de la valeur propre associée est 0. Rappelons que, dans ce cas, χ_{1}z^{k−2} est non-ramifié et U_{p}f = p^{k−1}χ_{1}(p)f (cf. §4.1). Si U est une variété (algébrique ou rigide) définie sur un corps et K une extension finie de ce corps, on note U_{K} le changement de base à K. On note encore H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log) le changement de base à X_{1}(N)_{K} du complexe défini au §4.2.

Soit W_{r} ⊂ X_{1}(M) l’ouvert rigide analytique des points fermés x de X_{1}(M) vérifiant |A(\overline{x})| > p^{−1/p^{r−2}(p+1)} (si r = 1 ou r = 2, on retrouve bien W_{1} et W_{2}, cf. §4.3). Si E correspond à un point de W_{r} (en oubliant la structure de niveau en M), on peut définir par récurrence E^{(0)} =^{déf} E et E^{(i+1)} =^{déf} E^{(i)}/can pour 0 ≤ i ≤ r − 1. On définit W_{1}(p^{r}) ⊂ X_{1}(Mp^{r}) comme l’ouvert rigide de X_{1}(Mp^{r}) des points fermés correspondants aux couples (E, Q_{M}, P) (où Q_{M} (resp. P) est un point rationnel sur E d’ordre exact M (resp. p^{r})) tels que (E, Q_{M}) correspond à un point fermé de X_{1}(M) qui est dans W_{r} et tels que l’image de p^{r−1−i}P dans E^{(i)} engendre le sous-groupe canonique de E^{(i)} pour 0 ≤ i ≤ r − 1.

Supposons d’abord M > 4 et notons X_{1}(Mp^{r}) le modèle propre, plat et régulier de X_{1}(Mp^{r})_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})} sur ℤ_{p}[ζ_{p^{r}}] construit dans [36] représentant le problème de modules ([Γ_{1}(M)], [bal.Γ_{1}(p^{r})^{can}]). Par [36, §13.12], la fibre spéciale de X_{1}(Mp^{r}) est réduite, union disjointe se coupant aux points supersinguliers de courbes d’Igusa sur 𝔽_{p}. Il y a exactement deux composantes irréductibles isomorphes à Ig(Mp^{r}) (courbes d’Igusa représentant le problème de modules ([Γ_{1}(M)], [Ig(p^{r})]) sur 𝔽_{p} au sens de [36, §12]). On vérifie facilement que l’une d’entre elles, que l’on note Ig_{∞}, contient l’image de W_{1}(p^{r})_{ℚ_{p}(ζ_{p^{r}})} par la flèche de spécialisation. On note Ig_{0} l’autre composante.

Supposons de plus M suffisamment grand pour que X_{1}(Mp^{r}) et les composantes irréductibles de la fibre spéciale de X_{1}(Mp^{r}) soient de genre ≥ 2. Soit K une extension finie de ℚ_{p}(ζ_{p^{r}}) sur laquelle X_{1}(Mp^{r})_{K} admet un modèle stable et 𝔽_{K} son corps résiduel. On note X =^{déf} X_{1}(Mp^{r})_{K}, X le changement de base de ℤ_{p}[ζ_{p^{r}}] à O_{K} de X_{1}(Mp^{r}) et X̃ le modèle régulier minimal (donc stable) de X_{K} sur O_{K}. Puisqu’il n’y a pas de contraction possible dans la fibre spéciale de X, on a un morphisme X̃ → X qui est une succession d’éclatements sur la fibre spéciale. On note encore Ig_{∞} (resp. Ig_{0}) l’unique composante irréductible de X̃×_{O_{K}} 𝔽_{K} qui s’envoie bijectivement sur Ig_{∞}×𝔽_{K} (resp. Ig_{0}×𝔽_{K}) et W_{∞} ⊂ X (resp. W_{0} ⊂ X) l’image inverse (i.e. le tube) de Ig_{∞} (resp. Ig_{0}) par la flèche de spécialisation via X̃. On note res_{∞} (resp. res_{0}) la restriction ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) → ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) (resp. avec W_{0}).

Lemme 4.4.1. — Les groupes ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) et ℍ^{1}(W_{0}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) sont naturellement munis d’une action des opérateurs de Hecke T_{ℓ} et S_{ℓ} pour ℓ ∤ Mp qui commute avec celle sur ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) via res_{∞} et res_{0}.

Démonstration. — Par unicité du modèle régulier minimal, les automorphismes ⟨ℓ⟩ (ℓ ∤ Mp) de X s’étendent canoniquement en des automorphismes de X̃ et de sa fibre spéciale qui préservent Ig_{∞} et Ig_{0} (car tel est le cas sur la fibre spéciale de X). Ainsi, l’automorphisme ⟨ℓ⟩ de X préserve W_{∞} et W_{0} d’où l’énoncé pour S_{ℓ} puisque S_{ℓ} = ℓ^{k−2}⟨ℓ⟩. Notons X (ℓ) le schéma régulier propre et plat sur ℤ_{p}[ζ_{p^{r}}] construit dans [36] représentant le problème de module ([Γ_{1}(M)], [bal.Γ_{1}(p^{r})^{can}], [Γ_{0}(ℓ)]) des isogénies E ↠ E′ de degré ℓ entre courbes elliptiques (généralisées) avec structures de niveau de type ([Γ_{1}(M)], [bal.Γ_{1}(p^{r})^{can}]) sur E. Soit pr_{1} (resp. pr_{2}) la projection X (ℓ) → X envoyant (E ↠ E′) sur E (resp. sur E′ avec structures de niveau ([Γ_{1}(M)], [bal.Γ_{1}(p^{r})^{can}]) induites). On montre comme dans [40] que les deux produits fibrés X (ℓ)×_{X} X̃ (pour pr_{1} et pr_{2}) sont isomorphes, car isomorphes au modèle régulier minimal (et stable) de X (ℓ) sur O_{K}. Notons p̃r_{1} et p̃r_{2} les deux projections X (ℓ) ×_{X} X̃ → X̃, alors p̃r_{1}^{−1}(Ig_{∞}) (resp. p̃r_{1}^{−1}(Ig_{0})) est l’unique composante irréductible de la fibre spéciale du modèle stable de X (ℓ) dont l’image dans X (ℓ) est la courbe d’Igusa se projetant sur Ig_{∞} × 𝔽_{K} (resp. Ig_{0} × 𝔽_{K}) dans X ×_{O_{K}} 𝔽_{K} (par pr_{1} ou pr_{2}). On a donc p̃r_{2}(p̃r_{1}^{−1}(Ig_{∞})) = Ig_{∞} dans X̃×_{O_{K}} 𝔽_{K}, d’où pr_{2}(pr_{1}^{−1}(W_{∞})) = W_{∞} dans X (resp. avec Ig_{0} et W_{0}). C’est la condition qu’il faut pour définir par restriction un endomorphisme T_{ℓ} sur ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) (resp. avec W_{0}) de la même manière qu’est défini T_{ℓ} sur ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) (voir [15, §8]).

Comme X a réduction semi-stable sur O_{K}, le K-espace vectoriel ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) possède une K_{0}-structure canonique ℍ_{log−cris}^{1} (où K_{0} ⊆ K est le plus grand sous-corps absolument non-ramifié) munie d’un Frobenius semi-linéaire encore noté φ et d’un opérateur de monodromie N satisfaisant Nφ = pφN. Par [27] et [28] (voir aussi [16]), on a un isomorphisme de φ-modules filtrés à coefficients dans L :

(20) (D_{p}(f)_{K_{0}}, φ, Fil^{k−1}D_{p}(f)_{K}) ≃ ((ℍ_{log−cris}^{1}⊗_{ℚ_{p}}L)^{f}, φ⊗1, (H^{0}(X, ω^{k})⊗_{ℚ_{p}}L)^{f}).

Soit d =^{déf} [K_{0} : ℚ_{p}] et φ^{d} l’automorphisme K-linéaire de ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) défini par extension des scalaires de K_{0} à K de l’automorphisme φ^{d} sur ℍ_{log−cris}^{1}. Les K-espaces vectoriels ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) et ℍ^{1}(W_{0}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) sont canoniquement munis d’un Frobenius K-linéaire Φ commutant aux opérateurs T_{ℓ} et S_{ℓ} (ℓ ∤ Mp) et tel que les restrictions res_{∞} et res_{0} commutent à Φ et φ^{d} (voir [16]).

Lemme 4.4.2. — Les restrictions res_{∞} et res_{0} induisent un isomorphisme :

(ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⊗ L)^{f} →^{∼} (ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⊗ L)^{f}
⊕(ℍ^{1}(W_{0}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⊗ L)^{f}.

Démonstration. — Sachant que le caractère de f en p est de conducteur exactement p^{r}, on a une inclusion :

(ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))⊗L)^{f} ⊂ H^{1}(X, Sym^{k−2})^{prim} ⊗ L

où H^{1}(X, Sym^{k−2})^{prim} est le groupe introduit dans [13, §2]. L’isomorphisme se déduit alors facilement de l’isomorphisme :

H^{1}(X, Sym^{k−2})^{prim} ⊗ L ≃ H^{1}(W_{∞}, Sym^{k−2})^{∗} ⊗ L ⊕ H^{1}(W_{0}, Sym^{k−2})^{∗} ⊗ L

de [13, Th.2.1] (déduit lui-même d’une suite exacte de Mayer-Vietoris).

Soit ζ une racine primitive p^{r}-ième de 1. Rappelons que X classifie les données (E, Q_{M}, π, (P, Q)) où E est une courbe elliptique généralisée sur un O_{K}-schéma S, Q_{M} un point de E(S) d’ordre exact M (au sens de [36, §1.4]), π : E ↠ E′ une S-isogénie de degré p^{r}, P ∈ Ker(π)(S) un générateur (au sens � Drinfel’d �) de Ker(π) et Q ∈ Ker(π^{∗})(S) un générateur de Ker(π^{∗}) (π^{∗} est l’isogénie duale de π) tel que ⟨P, Q⟩_{π} = ζ où ⟨·⟩_{π} est l’accouplement alterné canonique entre Ker(π) et Ker(π^{∗}) (cf. [36, §2.8]). On définit un automorphisme w_{ζ} de X (qui préserve X) en envoyant (E, Q_{M}, π, (P, Q)) sur (E′, π(Q_{M}), π^{∗}, (Q, −P)).

Lemme 4.4.3. — L’automorphisme w_{ζ} de X induit des isomorphismes w_{ζ} :

W_{∞} →^{∼} W_{0} et w_{ζ} : W_{0} →^{∼} W_{∞}.

Démonstration. — Par unicité du modèle régulier minimal, w_{ζ} s’étend canoniquement de X à X̃ et on vérifie facilement qu’il échange Ig_{∞} et Ig_{0} dans X ×_{O_{K}} 𝔽_{K}, d’où le résultat.

On dispose d’un diagramme commutatif :

\begin{matrix}E & ⟶ & E \\ ↓ & & ↓ \\ X & ⟶^{w_{ζ}} & X \end{matrix}

où la flèche horizontale supérieure est la composée :

E ↠ E/Ker(π) ≃ X ×_{w_{ζ},X} E → E

qui induit un automorphisme encore noté w_{ζ} sur ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)). Par le lemme 4.4.3, on en déduit un diagramme commutatif :

ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⟶^{res_{0}} ℍ^{1}(W_{0}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))
w_{ζ} ↓ ≀  ≀ ↓ w_{ζ}
ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⟶^{res_{∞}} ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)).

(21)

Lemme 4.4.4. — Soit s ∈ ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) tel que res_{0}(s) = 0, alors res_{∞}(w_{ζ}(s)) = 0.

Démonstration. — Découle immédiatement de (21).

Soit W̃ =^{déf} W_{1}(p^{r})_{K} ∩ W_{∞} ⊂ X, c’est encore un voisinage strict dans X du lieu de spécialisation ordinaire car intersection de deux voisinages stricts. Il existe donc un affinoïde W ⊂ W̃ qui est encore voisinage strict de ce lieu ([5, §1.2]) et on a un morphisme de restriction :

(22) ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) ⟶ ℍ^{1}(W, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)).

Remarque 4.4.5. — Par le même argument que dans [12, §8] utilisant [2], on peut montrer que la restriction (22) est en fait un isomorphisme. Nous n’aurons pas besoin de ce fait.

Notons res_{∞}(f) (resp. res_{0}(f)) l’image de la droite :

K ⊗_{ℚ_{p}} L · f ⊂ (ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))⊗L)^{f}

dans (ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))⊗L)^{f} (resp. (ℍ^{1}(W_{0}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))⊗L)^{f}) par l’application res_{∞} (resp. res_{0}).

Proposition 4.4.6. — Supposons que la représentation σ_{p}(f) est scindée, alors res_{0}(f) = 0.

Démonstration. — On a toujours res_{∞}(f) ≠ 0 car sinon, via la restriction (22) et le lemme 4.2.1 appliqué à l’affinoïde W, f serait dans l’image de θ^{k−1} (agissant sur l’espace des formes surconvergentes de poids 2−k) ce qui est impossible car f est de pente nulle en p (procéder comme dans [12, Lem.6.3]). Supposons res_{0}(f) non-nul. Alors les deux K ⊗_{ℚ_{p}} L-modules libres (ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗Ω^{·}(log))⊗L)^{f} et (ℍ^{1}(W_{0}, H_{k−2}⊗Ω^{·}(log))⊗L)^{f} sont non-nuls. Comme (ℍ^{1}(X, H_{k−2}⊗Ω^{·}(log))⊗L)^{f} est libre de rang 2 sur K ⊗_{ℚ_{p}} L (Eichler-Shimura), ils sont forcément de rang 1 par la proposition 4.4.2. Comme ils sont stables par φ^{d}, on a forcément par (20) et la description de D_{p}(f) donnée au §3.3, quitte à inverser peut-être e_{1} et e_{2} :

(ℍ^{1}(W_{∞}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))⊗L)^{f} ≃ K ⊗_{ℚ_{p}} L · e_{1}
(ℍ^{1}(W_{0}, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log))⊗L)^{f} ≃ K ⊗_{ℚ_{p}} L · e_{2}.

Puisque res_{0}(f) ≠ 0 et res_{∞}(f) ≠ 0, on voit bien que δ ≠ 0 dans la description de Fil^{k−1}D_{p}(f)_{K} ≃ K ⊗_{ℚ_{p}} L · f (cf. §3.3) ce qui entraîne que σ_{p}(f) est non scindée.

Rappelons que f |_{w_{p^{r}}} a été défini au §4.1.

Proposition 4.4.7. — Si σ_{p}(f) est scindée, il existe g ∈ H^{0}(W, ω^{2−k}) ⊗_{ℚ_{p}} L telle que f |_{w_{p^{r}}} = θ^{k−1}(g) dans H^{0}(W, ω^{k}) ⊗_{ℚ_{p}} L.

Démonstration. — Par la proposition 4.4.6, on a res_{0}(f) = 0. Or, on sait que w_{p^{r}} est induit (à multiplication près par une constante non-nulle) par l’automorphisme w_{ζ} sur ℍ^{1}(X, H_{k−2} ⊗ Ω^{·}(log)) (voir e.g. [33, §6] pour le cas r = 1, k = 2). Par le lemme 4.4.4, on a donc res_{∞}(f |_{w_{p^{r}}}) = 0, ce qui entraîne f |_{w_{p^{r}}} = θ^{k−1}(g) par (22) et le lemme 4.2.1 appliqué à W.

Supposons maintenant M quelconque et fixons comme au §4.2 un nombre premier auxiliaire q > 2, q ∤ Mp suffisamment grand pour que le genre de X_{1}(M; q) et des composantes irréductibles de sa fibre spéciale soit au moins 2. On a un isomorphisme de φ-modules filtrés :

(D_{p}(f)_{K_{0}}, φ, Fil^{k−1}D_{p}(f)_{K})

≃((ℍ_{log−cris}^{1} ⊗_{ℚ_{p}} L)^{f,GL_{2}(ℤ/qℤ)}, φ ⊗ 1, (H^{0}(X, ω^{k}) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{f,GL_{2}(ℤ/qℤ)}).

Les propositions 4.4.2 et 4.4.6 s’étendent alors facilement en remplaçant partout (·)^{f} par (·)^{f,GL_{2}(ℤ/qℤ)}. On en déduit alors l’analogue de la proposition 4.4.7 : f |_{w_{p^{r}}} = θ^{k−1}(g) dans H^{0}(W, ω^{2−k})^{GL_{2}(ℤ/qℤ)} ⊗ L lorsque σ_{p}(f) est scindée.

Théorème 4.4.8. — Soit f une forme parabolique propre de poids k ≥ 2 nouvelle pour le groupe Γ_{1}(Mp^{r}) avec (M, p) = 1 et r > 0. Supposons que f est de pente nulle en p. Si Mp^{r} > 4, alors la représentation σ_{p}(f) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H^{0}(W_{1}(p^{r}), ω^{2−k}) ⊗_{ℚ_{p}} L tel que f |_{w_{p^{r}}} = θ^{k−1}(g) dans H^{0}(W_{1}(p^{r}), ω^{k}) ⊗_{ℚ_{p}} L. Si Mp^{r} ≤ 4, soit q ∤ Mp un nombre premier suffisamment grand, alors (en travaillant avec X_{1}(N; q) au lieu de X_{1}(N)) σ_{p}(f) est scindée si et seulement s’il existe g ∈ H^{0}(W_{1}(p^{r}), ω^{2−k})^{GL_{2}(ℤ/qℤ)}⊗_{ℚ_{p}}L tel que f |_{w_{p^{r}}} = θ^{k−1}(g) dans H^{0}(W_{1}(p^{r}), ω^{k})^{GL_{2}(ℤ/qℤ)} ⊗_{ℚ_{p}} L.

Démonstration. — S’il existe g comme dans l’énoncé, alors il est connu que σ_{p}(f) est scindée (voir e.g. [30, Prop.11]).

Supposons que σ_{p}(f) est scindée et supposons d’abord qu’il n’y a pas besoin de nombre premier auxiliaire (i.e. tous les genres sont au moins 2). Alors on a déjà g ∈ H^{0}(W, ω^{2−k}) ⊗_{ℚ_{p}} L tel que f |_{w_{p^{r}}} = θ^{k−1}(g) par la proposition 4.4.7. Il suffit de montrer que g s’étend (de façon nécessairement unique) en une section de H^{0}(W_{1}(p^{r})_{K}, ω^{2−k})⊗_{ℚ_{p}}L (qui sera en fait dans H^{0}(W_{1}(p^{r}), ω^{2−k})⊗_{ℚ_{p}}L). Si k > 2, alors θ^{k−1} est injectif et la relation pθ ∘ U_{p} = U_{p} ∘ θ (dans l’espace des formes surconvergentes) entraîne U_{p}g = λg avec val(λ) = 0 puisque f |_{w_{p^{r}}} est de pente k−1. L’injection continue H^{0}(W_{1}(p^{r})_{K}, ω^{2−k})⊗L ↪ H^{0}(W, ω^{2−k})⊗L est d’image dense (noter que l’espace de gauche est un Fréchet et celui de droite un Banach). Soit (g_{n})_{n} ∈ H^{0}(W_{1}(p^{r})_{K}, ω^{2−k}) ⊗ L tel que g_{n} → g dans H^{0}(W, ω^{2−k}) ⊗ L et e =^{déf} lim U_{p}^{n!} le projecteur de Hida défini sur l’espace des formes surconvergentes. On a e(H^{0}(W_{1}(p^{r})_{K}, ω^{2−k}) ⊗ L) fermé dans H^{0}(W_{1}(p^{r})_{K}, ω^{2−k}) ⊗ L car de dimension finie sur K (car U_{p} est un opérateur compact sur H^{0}(W_{1}(p^{r})_{K}, ω^{2−k}), cf. [14]). Or e(g_{n}) → e(g) = g, donc g ∈ H^{0}(W_{1}(p^{r})_{K}, ω^{2−k}) ⊗ L. Si k = 2, on a seulement a priori U_{p}g = λg + Cste mais le même argument s’applique car on a encore e(g) = g. Dans les cas où nous avons introduit un nombre premier auxiliaire q, la même preuve est valable par la discussion précédente en travaillant avec la courbe X_{1}(Mp^{r}; q). Supposons finalement Mp^{r} > 4, de telle sorte que X_{1}(Mp^{r}) est un espace de modules fin et, pour éviter toute confusion, notons W_{1}(p^{r}; q) l’ouvert rigide analytique de X_{1}(Mp^{r}; q) noté jusqu’alors simplement W_{1}(p^{r}). Ce sous-espace est GL_{2}(ℤ/qℤ)-invariant et son quotient par l’action de GL_{2}(ℤ/qℤ) est isomorphe à l’ouvert W_{1}(p^{r}) de X_{1}(Mp^{r}). On a de plus des isomorphismes naturels :

(H^{0}(W_{1}(p^{r}; q), ω^{2−k}) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{GL_{2}(ℤ/qℤ)} ≃ H^{0}(W_{1}(p^{r}), ω^{2−k}) ⊗_{ℚ_{p}} L
(H^{0}(W_{1}(p^{r}; q), ω^{k}) ⊗_{ℚ_{p}} L)^{GL_{2}(ℤ/qℤ)} ≃ H^{0}(W_{1}(p^{r}), ω^{k}) ⊗_{ℚ_{p}} L

(cf. l’appendice de [10]). Dans cette situation, on peut donc supprimer toute mention du nombre premier auxiliaire q, comme dans l’énoncé.

5. Les résultats principaux

On démontre les théorèmes 1.1.4 et 1.1.2 de l’introduction.

5.1. On commence par des résultats préliminaires sur les espaces Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M)) et Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) du §3.1.

Soit M ≥ 1 un entier premier à p et, pour r ≥ 1, Y_{1}(Mp^{r}) la courbe modulaire ouverte correspondant au sous-groupe de congruences Γ_{1}(Mp^{r}). On note :

Ĥ_{c} =^{déf} lim_{\overleftarrow{n}} ( lim_{\overrightarrow{r}} H_{c}^{1}(Y_{1}(Mp^{r}), ℤ_{p})/p^{n} lim_{\overrightarrow{r}} H_{c}^{1}(Y_{1}(Mp^{r}), ℤ_{p})).

C’est naturellement un ℤ_{p}-module de Hecke qui est aussi muni d’une action de l’opérateur U_{p} et Ĥ_{c} ⊗_{ℤ_{p}} ℚ_{p} est un espace de Banach. La projection Y_{1}(M; p^{r}) → Y_{1}(Mp^{r}) induit une application continue 𝕋-équivariante :

(23)  Ĥ_{c} → Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))^{P(ℤ_{p})}

qui entrelace l’action de U_{p} sur Ĥ_{c} avec l’action de pπ_{℘} sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))^{P(ℤ_{p})} où ℘ =^{déf} (\begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}). Pour tout r ≥ 1, on note G_{r} le noyau de la réduction GL_{2}(ℤ_{p}) → GL_{2}(ℤ/p^{r}ℤ).

Proposition 5.1.1. — L’application (23) est un isomorphisme.

Démonstration. — L’argument est analogue à la preuve de [21, Th.2.1.12]. Soit r_{0} suffisamment grand pour que Γ_{1}(Mp^{r_{0}}) soit sans torsion et soit X_{r_{0}} un souscomplexe simplicial de dimension 1 de Y_{1}(Mp^{r_{0}}) qui est un rétract par déformation de Y_{1}(Mp^{r_{0}}). Posons :

G_{r_{0}}^{1} =^{déf} \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℤ_{p}) | (c, d) ≡ (0, 1) mod p^{r_{0}}\} ,

pour r > r_{0}, Y_{1}(M; p^{r}) est un revêtement galoisien de Y_{1}(Mp^{r_{0}}) de groupe de Galois G_{r_{0}}^{1}/G_{r} (agissant à droite). Soit X_{r} l’image inverse de X_{r_{0}} dans Y_{1}(M; p^{r}), c’est encore un revêtement galoisien de X_{r_{0}} de groupe de Galois G_{r_{0}}^{1}/G_{r}. On note T_{•}(r_{0}) la triangulation de X_{r_{0}} (où T_{i}(r_{0}) est l’ensemble des simplexes de degré i, avec i ∈ {0, 1}) et T_{•}(r) la triangulation de X_{r} image inverse de T_{•}(r_{0}). L’action à droite de G_{r_{0}}^{1}/G_{r} sur X_{r} au-dessus de X_{r_{0}} induit une action à droite sur T_{•}(r_{0}).

Pour r ≥ r_{0}, soit S_{•}(r, ℤ/p^{n}ℤ) le complexe de chaînes à coefficients dans ℤ/p^{n}ℤ associé à la triangulation T_{•}(r) : c’est un complexe de (ℤ/p^{n}ℤ)[G_{r_{0}}^{1}/G_{r}]-modules. On a un système inductif de complexes de chaînes (S_{•}(r, ℤ/p^{n}ℤ))_{r} quand r varie et on note :

S_{•}(ℤ/p^{n}ℤ) =^{déf} lim_{\overrightarrow{r}} S_{•}(r, ℤ/p^{n}ℤ).

Passant à la limite projective sur n, on obtient un complexe de ℤ_{p}[[G_{r_{0}}^{1}]]-modules :

S̃_{•} =^{déf} lim_{\overleftarrow{n}} S_{•}(ℤ/p^{n}ℤ).

De manière similaire, soit X_{1,r} l’image inverse de X_{r_{0}} dans Y_{1}(Mp^{r}) et T_{•}(1, r) la triangulation de X_{1,r} image inverse de T_{•}(r_{0}). Pour r ≥ r_{0}, soit R_{•}(r, ℤ/p^{n}ℤ) le complexe de chaînes à coefficients dans ℤ/p^{n}ℤ associé à la triangulation T_{•}(1, r) et posons R_{•}(ℤ/p^{n}ℤ) =^{déf} lim_{\overrightarrow{r}} R_{•}(r, ℤ/p^{n}ℤ) et R̃_{•} =^{déf} lim_{\overleftarrow{n}} R_{•}(ℤ/p^{n}ℤ). Comme la

triangulations T_{•}(r) ne fait intervenir que des simplexes de dimensions 0 et 1, le complexe S_{•}(ℤ/p^{n}ℤ) a des termes seulement en degrés 0 et 1, et on a donc une suite exacte :

0 → H_{1}(S_{•}(ℤ/p^{n}ℤ) → S_{1}(ℤ/p^{n}ℤ) → S_{0}(ℤ/p^{n}ℤ).

Le foncteur limite projective étant exact à gauche, on en déduit une suite exacte :

0 → lim_{\overleftarrow{n}} H_{1}(S_{•}(ℤ/p^{n}ℤ)) → S̃_{1} → S̃_{0}

et donc un isomorphisme :

(24)  H_{1}(S̃_{•}) ⟶^{∼} lim_{\overleftarrow{n}} H_{1}(S_{•}(ℤ/p^{n}ℤ)).

Le foncteur limite inductive étant exact, on a :

(25)  H_{1}(S_{•}(ℤ/p^{n}ℤ)) ⟶^{∼} lim_{\overrightarrow{r}} H_{1}(Y_{1}(M; p^{r}), ℤ/p^{n}ℤ)
⟶^{∼} ( lim_{\overrightarrow{r}} H_{1}(Y_{1}(M; p^{r}), ℤ_{p})) ⊗_{ℤ_{p}} ℤ/p^{n}ℤ.

En combinant (24) et (25), on déduit que H_{1}(S̃_{•}) est isomorphe au complété p-adique de lim_{\overrightarrow{r}} H_{1}(Y_{1}(M; p^{r}), ℤ_{p}), donc à Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) par dualité de Poincaré.

C’est en fait un isomorphisme de G_{r_{0}}^{1}-modules si l’on fait agir g ∈ G_{r_{0}}^{1} à gauche sur H_{1}(S̃_{•}) par l’action à droite de g^{−1}.

Par un raisonnement analogue à celui du paragraphe ci-dessus, on obtient que H_{1}(R̃_{•}) est isomorphe à Ĥ_{c}. Par ailleurs, il est clair sur les complexes que l’on a un isomorphisme R̃_{•} ⟶^{∼} (S̃_{•})^{P(ℤ_{p})}, et donc, comme le foncteur des P(ℤ_{p})- invariants est exact à gauche, en prenant les P(ℤ_{p})-invariants sur la suite exacte 0 → H_{1}(S̃_{•}) → S̃_{1} → S̃_{0} on obtient un isomorphisme H_{1}(R̃_{•}) ⟶^{∼} H_{1}(S̃_{•})^{P(ℤ_{p})}. En combinant les conclusions de ce paragraphe avec celles du précédent, on obtient l’isomorphisme recherché Ĥ_{c} ⟶^{∼} Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))^{P(ℤ_{p})}.

On étudie maintenant les espaces d’extensions Ext_{𝔟(ℚ_{p})}^{1} (ψ, Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}) et Ext_{𝔟(ℚ_{p})}^{1}(ψ, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}) où ψ est un caractère de 𝔟(ℚ_{p}) à valeurs dans une extension finie L de ℚ_{p} et où Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an} et Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an} désignent les vecteurs localement analytiques des GL_{2}(ℚ_{p})-Banach admissibles Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} et Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} (cf. [46, §7]).

Proposition 5.1.2. — Pour tout caractère ψ comme ci-dessus, on a :

Ext_{𝔟(ℚ_{p})}^{1}(ψ, Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}) = 0.

Démonstration. — L’argument est basé sur les constructions de la preuve de [21, Th.2.1.5]. Soit r_{0} tel que Γ_{1}(M)∩Γ(p^{r_{0}}) est sans torsion et X_{r_{0}} un sous-complexe simplicial de dimension 1 de Y_{1}(M; p^{r_{0}}) qui est un rétract par déformation de Y_{1}(M; p^{r_{0}}). Si r ≥ r_{0}, Y_{1}(M; p^{r}) est un revêtement galoisien de Y_{1}(M; p^{r_{0}}) de groupe de Galois G_{r_{0}}/G_{r} (agissant à droite). Soit X_{r} l’image inverse de X_{r_{0}} dans Y_{1}(M; p^{r}), alors X_{r} est un revêtement galoisien de X_{r_{0}} de groupe de Galois G_{r_{0}}/G_{r}. On définit alors des triangulations T_{•}(r_{0}) et T_{•}(r) exactement comme dans la preuve du lemme 5.1.1. Pour r ≥ r_{0}, soit S^{•}(r, ℤ/p^{n}ℤ) le complexe de cochaînes à coefficients dans ℤ/p^{n}ℤ associé à T_{•}(r). On définit de manière similaire à la preuve précédente les complexes S^{•}(ℤ/p^{n}ℤ) et S̃^{•}. En particulier, ce dernier est un complexe de ℤ_{p}[[G_{r_{0}}]]-modules. Par [21, Th.2.1.5], chacun des espaces S̃^{i} est isomorphe à un G_{r_{0}}-module C^{0}(G_{r_{0}}, ℤ_{p})^{s_{i}} pour un entier s_{i} ≥ 0 et on a des isomorphismes H^{i}(S̃^{•}) ⟶^{∼} Ĥ^{i}(K_{1}^{p}(M)) (i ∈ {0, 1}). Comme le foncteur � vecteurs localement analytiques � est exact ([46, Th.7.1]), on obtient donc une suite exacte :

0→Ĥ^{0}(K_{1}^{p}(M))_{L,an} →C^{an}(G_{r_{0}}, L)^{s_{0}} →C^{an}(G_{r_{0}}, L)^{s_{1}} →Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an} →0.

Comme les termes du milieu sont 𝔟(ℚ_{p})-acycliques et invariants par torsion par le caractère −ψ, une chasse au diagramme facile fournit un isomorphisme :

(26) Ext_{𝔟(ℚ_{p})}^{1}(ψ, Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}) = H^{1}(𝔟(ℚ_{p}), Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}(−ψ))

⟶^{∼} H^{3}(𝔟(ℚ_{p}), Ĥ^{0}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}(−ψ)).

(où � (−ψ) � désigne la torsion par −ψ.) Mais Ĥ^{0}(K_{1}^{p}(M))_{L,an} →^{∼} C^{an}(ℤ_{p}^{×}, L), d’où H^{1}(𝔷(ℚ_{p}), Ĥ^{0}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}(−ψ)) = 0. Par ailleurs 𝔟(ℚ_{p}) est la somme directe de 𝔷(ℚ_{p}) et d’une algèbre de Lie 𝔩(ℚ_{p}) de dimension 2 (l’algèbre de Lie formée des matrices de la forme (\begin{matrix}∗ & ∗ \\ 0 & 0 \end{matrix})). Rappelons que la cohomologie d’une algèbre de Lie de dimension d est nulle en degré > d. Comme 𝔷(ℚ_{p}) est de dimension 1 et 𝔩(ℚ_{p}) de dimension 2, la formule de Künneth pour la cohomologie des algèbres de Lie entraîne alors que, pour tout 𝔟(ℚ_{p})-module M, on a H^{3}(𝔟(ℚ_{p}), M) ≃ H^{1}(𝔷(ℚ_{p}), M) ⊗ H^{2}(𝔩(ℚ_{p}), M) (seul terme éventuellement non-nul). En prenant M = Ĥ^{0}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}(−ψ), on voit que l’on obtient bien H^{3}(𝔟(ℚ_{p}), M) = 0 puisque H^{1}(𝔷(ℚ_{p}), M) = 0, d’où le résultat par (26).

Corollaire 5.1.3. — Pour tout caractère ψ comme ci-dessus, le module de Hecke Ext_{𝔟(ℚ_{p})}^{1}(ψ, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}) est Eisenstein.

Démonstration. — Par exactitude du foncteur � vecteurs localement analytiques � ([46, Th.7.1]), la surjectivité de (7) et la proposition 5.1.2, on voit que le module de Hecke Ext_{𝔟(ℚ_{p})}^{1}(ψ, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}) est un quotient de Ext_{𝔟(ℚ_{p})}^{1}(ψ, M̂_{L,an}). Le corollaire suit alors du même argument que celui dans la preuve du corollaire 3.1.3 en utilisant le lemme 3.1.2.

5.2. On donne ici quelques rappels sur le foncteur de Jacquet de [22] et [23] et sur les résultats de [21] pour le groupe GL_{2} sur ℚ.

Soit V un L-espace vectoriel topologique localement convexe (où L est une extension finie de ℚ_{p}) muni d’une action localement analytique de B(ℚ_{p}). Dans [22, Def.3.4.5] est défini un L-espace vectoriel topologique localement convexe de type compact J_{B(ℚ_{p})}(V) muni d’une représentation localement analytique de T(ℚ_{p}) appelé module de Jacquet de V. Nous ne rappelons pas sa définition ici, mais simplement que si χ_{1} ⊗ χ_{2} ∈ T̂(L) (§2.1) et si J_{B(ℚ_{p})}^{χ_{1}⊗χ_{2}}(V) est le sous-espace de J_{B(ℚ_{p})}(V) sur lequel T(ℚ_{p}) agit par χ_{1} ⊗ χ_{2}, il y a un isomorphisme naturel (cf. [22, Prop.3.4.9]) :

(27)  J_{B(ℚ_{p})}^{χ_{1}⊗χ_{2}}(V) ⟶^{∼} V^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{1}⊗χ_{2}}

où V^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{1}⊗χ_{2}} est le sous-espace de V^{N(ℤ_{p})} sur lequel π_{t} agit par la multiplication par (χ_{1} ⊗ χ_{2})(t) pour tout t ∈ T(ℚ_{p})^{+}.

Le module de Jacquet J_{B(ℚ_{p})}(Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{an}) est une représentation localement analytique essentiellement admissible de T(ℚ_{p}) au sens de [24], et donc correspond à un faisceau cohérent sur T̂ noté E_{c} (cf. [21, §4.4]). L’action des opérateurs de Hecke T_{ℓ} et S_{ℓ}^{±1} sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) (pour ℓ ∤ Mp) induit une action sur E_{c}. On note, comme dans [21, §4.4], A_{c} ⊂ End(E_{c}) le sous-faisceau cohérent d’algèbres engendré par T_{ℓ} et S_{ℓ}^{±1} et Spec A_{c} le Spec relatif de A_{c} sur T̂. Donc Spec A_{c} est un espace rigide analytique muni d’une injection continue :

Spec A_{c} ↪ T̂ × Spec ℚ_{p}[{T_{ℓ}, S_{ℓ}^{±1}}_{ℓ∤Mp}]

≃ (W × 𝔾_{m})^{2} × Spec ℚ_{p}[{T_{ℓ}, S_{ℓ}^{±1}}_{ℓ∤Mp}].

On notera typiquement (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) un point de Spec A_{c} où χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} désigne le point correspondant de T̂ et λ le système correspondant de valeurs propres de Hecke (le choix de tordre par | | ⊗ | |^{−1} s’expliquera au §5.5). L’espace Spec A_{c} est invariant par torsion � diagonale � par les éléments de W (cf. [21],(4.4.8)) : le tordu du point (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) par χ ∈ W est le point (χχ_{2} | | ⊗χχ_{1} | |^{−1}, χλ).

On déduit par ailleurs de (27) :

Proposition 5.2.1. — On a un isomorphisme Hecke-équivariant :

J_{B(ℚ_{p})}^{χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1}}(Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an})^{λ} ⟶^{∼} Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1},λ}.

Comme l’action de GL_{2}(ℚ_{p}) sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) est unitaire, on remarque que l’on a pour tout point (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) de Spec A_{c} (cf. [22, Lem.4.4.2]) :

(28)  |χ_{2}(p)| ≤ 1 et |χ_{1}(p)| = |χ_{2}(p)|^{−1}.

5.3. On rappelle brièvement le lien entre l’espace rigide Spec A_{c} et la courbe (ou surface) de Hecke de Coleman et Mazur ([17]).

Soit f une forme modulaire comme au §3.2 (i.e. parabolique, normalisée, de poids k ≥ 2 et niveau N = p^{r}M pour un entier r ≥ 0, définie sur une extension finie L de ℚ_{p} dans \overline{ℚ_{p}}) de système de valeurs propres hors niveau λ et telle que (Sym^{k−2}L^{2})^{∨} ⊗ π_{p}(f) = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{lp,≤k−2}. Par (14) et la compatibilité entre foncteurs de Jacquet classique et localement analytique ([22, Prop.4.3.6]), on voit que les deux points (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) et (χ_{1}z^{k−2} ⊗ χ_{2}z^{2−k}, λ) sont alors dans Spec A_{c}. On peut construire aussi des points dans Spec A_{c} à partir de formes f telles que π_{p}(f) est une série spéciale et à partir des séries d’Eisenstein. On dit que les points de Spec A_{c} obtenus par torsion par des caractères arbitraires dans W des points précédents sont des points classiques (noter une légère différence avec la définition de [21] où l’on n’autorisait que des torsions par des caractères localement algébriques de ℤ_{p}^{×}. Ceci ne portera pas à conséquence dans la suite car les caractères localement algébriques de ℤ_{p}^{×} sont Zariski-dense dans W). La clôture Zariskienne (au sens rigide analytique) des points classiques dans Spec A_{c} est par définition la surface de Hecke de niveau M (cf. [21, Prop.4.4.15]). C’est une variété rigide analytique équidimensionnelle de dimension 2 stable sous l’action des éléments de W. Les points (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) de la surface de Hecke correspondent aux formes modulaires p-adiques f de niveau M qui sont des tordues par des éléments de W de formes modulaires surconvergentes de pente finie, niveau modéré M et vecteurs propres de Hecke. Plus précisément, si f est une forme surconvergente de pente finie, poids entier k, niveau N = Mp^{r} (pour (M, p) = 1 et r ≥ 0), définie sur une extension finie L de ℚ_{p} (i.e. dont le q-développement vit dans L ⊗_{O_{L}} O_{L}[[q]]), de caractère χ : (ℤ/Nℤ)^{×} → L^{×}, vecteur propre de U_{p} de valeur propre α et vecteur propre des T_{ℓ}, S_{ℓ} de système de valeurs propres λ, alors f correspond au point :

(nr(α/p) ⊗ nr(p/α)χ_{p}^{−1}ε^{2−k}, λ)

de (Spec A_{c})(L). Par exemple, si f est une forme classique comme au §4.3 nouvelle pour Γ_{1}(M) et si λ est le système de valeurs propres de Hecke associé, alors le point correspondant à f(z) − α_{p}f(pz) est (χ_{1}z^{k−2} ⊗ χ_{2}z^{2−k}, λ) et celui correspondant à f(z)−β_{p}f(pz) est (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ). De même, si f est nouvelle pour Γ_{1}(Mp^{r}) avec r > 0 et de pente nulle en p comme au §4.4, le point correspondant à f est (χ_{1}z^{k−2} ⊗ χ_{2}z^{2−k}, λ) et celui correspondant à f |_{w_{p^{r}}} est le tordu par χ_{0} du point (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ).

La surface de Hecke est en fait une union de composantes connexes de Spec A_{c} et son complémentaire dans Spec A_{c} est une union disjointe de composantes irréductibles de dimension 1 dont chacune est juste une orbite sous l’action de W (cf. la discussion suivant la preuve de [21, Prop.4.4.14], le point étant que toute composante de dimension 2 contient un ensemble Zariski-dense de points classiques). En fait, on s’attend à ce que Spec A_{c} coïncide avec la surface de Hecke, au moins hors du lieu d’Eisenstein (cf. [26, Thm.7.5.8]).

On dit qu’un point (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) de Spec A_{c} est de poids classique si χ_{1} ⊗ χ_{2} est de poids classique au sens de la définition 2.1.1. Tout point classique de Spec A_{c} est de poids classique mais la réciproque est fausse (par exemple, les formes surconvergentes de pente finie et de poids entier qui ne sont pas des formes modulaires classiques donnent des points de poids classique non classiques).

Définition 5.3.1. — On dit qu’un point (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) de Spec A_{c} est ordinaire si chacun des caractères χ_{1} et χ_{2} est unitaire (i.e. entier).

Proposition 5.3.2. — Tout point ordinaire (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) de Spec A_{c} se trouve sur la surface de Hecke.

Démonstration. — Quitte à tordre par χ_{2|ℤ_{p}^{×}}^{−1}, on peut supposer χ_{2} non-ramifié.

Tout élément de J_{B(ℚ_{p})}^{χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1}}(Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{an})^{λ} correspond alors en particulier à un élément de Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))^{P(ℤ_{p})} par la proposition 5.2.1, donc à un élément de Ĥ_{c} par la proposition 5.1.1. Mais, par [34], tout système de valeurs propres de Hecke dans la partie ordinaire de Ĥ_{c} provient d’une forme modulaire p-adique. Il est alors montré dans [32] (voir aussi [11] pour p = 2) que toute forme modulaire p-adique ordinaire est surconvergente (même principe que la fin de la preuve du théorème 4.4.8).

5.4. On définit et on étudie les � mauvais � points sur la surface de Hecke.

Définition 5.4.1. — Un point (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) de Spec A_{c} est mauvais s’il est de poids classique k et si le point (χ_{2} | | z^{1−k} ⊗ χ_{1} | |^{−1} z^{k−1}, λ) est aussi dans Spec A_{c}.

De manière équivalente par la proposition 5.2.1, (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est mauvais s’il est de poids classique k et si l’espace :

Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |z^{1−k}⊗χ_{1}| |^{−1}z^{k−1},λ}

est non-nul (où L est une extension finie de ℚ_{p} sur laquelle le point est défini). La définition 5.4.1 est une extension aux points de Spec A_{c} de la notion de mauvais point sur la courbe de Hecke définie dans [21, Def.4.5.5]. Notons que l’ensemble des mauvais points sur Spec A_{c} est invariant sous l’action de W.

Lemme 5.4.2. — Si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) ∈ (Spec A_{c})(L) est de poids classique et s’il y a des éléments de Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1},λ} qui ne sont pas localement algébriques sous l’action de SL_{2}(ℚ_{p}), alors (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est un mauvais point de Spec A_{c}.

Démonstration. — Supposons que χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} est de poids classique k. Si v ∈ Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1},λ} n’est pas localement algébrique, alors X_{−}^{k−1}v est non-nul. Par [22, Prop.4.4.4], il appartient à

Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |z^{1−k}⊗χ_{1}| |^{−1}z^{k−1},λ}

et donc (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est un mauvais point.

Proposition 5.4.3. — Soit (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) ∈ (Spec A_{c})(L) de poids classique k. Si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) n’est pas un point classique, alors il est mauvais. Réciproquement, si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est mauvais, alors soit ce n’est pas un point classique, soit |χ_{2}(p)| = |p^{k−1}|.

Démonstration. — Étant donné que tout vecteur SL_{2}(ℚ_{p})-localement algébrique dans Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an} est le tordu d’un élément de l’image de (12) pour un k ≥ 2, on voit que si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) n’est pas un point classique, alors aucun vecteur dans Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1},λ} ne peut être SL_{2}(ℚ_{p})-localement algébrique. Donc (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est mauvais par le lemme 5.4.2. Si par contre (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est classique, on sait que |p^{k−1}| ≤ |χ_{2}(p)| ≤ 1 (valable pour tout point classique). Si la première inégalité est stricte, alors par (28) appliqué à (χ_{2} | | z^{1−k} ⊗ χ_{1} | |^{−1} z^{k−1}, λ) on déduit :

Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |z^{1−k}⊗χ_{1}| |^{−1}z^{k−1},λ} = 0

et donc (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) n’est pas mauvais.

Grâce à la proposition 5.4.3, on peut donner un critère simple et utile permettant de reconnaître les mauvais points sur la surface de Hecke.

Proposition 5.4.4. — Si f est une forme surconvergente non-nulle de poids entier k ≥ 2, de niveau N = Mp^{r} (r ≥ 0), vecteur propre pour U_{p}, 𝕋 et pour l’action de (ℤ/Nℤ)^{×}, alors le point correspondant sur la surface de Hecke est un mauvais point de Spec A_{c} si et seulement s’il existe une forme surconvergente g non-nulle de poids 2 − k, de niveau N, vecteur propre pour U_{p}, 𝕋 et pour l’action de (ℤ/Nℤ)^{×} telle que f et θ^{k−1}(g) ont même valeur propre de U_{p}, même système de valeurs propres de Hecke et même caractère de (ℤ/Nℤ)^{×} (cf. §4 pour θ^{k−1}).

Démonstration. — Avec les notations du §5.3, rappelons que f correspond au point (nr(α/p) ⊗ nr(p/α)χ_{p}^{−1}ε^{2−k}, λ) de Spec A_{c}. Supposons d’abord qu’il existe une telle forme g. Il est facile de voir que g correspond au point (nr(α/p^{k}) ⊗ nr(p^{k}/α)χ_{p}^{−1}ε^{k}, ε^{k−1}λ) de Spec A_{c}. Quitte à tordre par ε^{1−k} ∈ W, on voit que le point (nr(α/p)z^{1−k} ⊗ nr(p/α)χ_{p}^{−1}ε^{2−k}z^{k−1}, λ) est aussi dans Spec A_{c}, ce qui montre que le point associé à f est mauvais. Réciproquement, supposons que le point associé à f est mauvais, i.e. que (nr(α/p)z^{1−k} ⊗ nr(p/α)χ_{p}^{−1}ε^{2−k}z^{k−1}, λ) est aussi dans Spec A_{c}. Quitte à tordre cette fois par ε^{k−1}, on voit que (nr(α/p^{k}) ⊗ nr(p^{k}/α)χ_{p}^{−1}ε^{k}, ε^{k−1}λ) est un point de Spec A_{c}. Si f n’est pas classique, on sait déjà que f = θ^{k−1}(g) par [12] et [13]. On peut donc supposer f classique. Par la proposition 5.4.3 appliquée à f, on a |α| = p^{k−1} et le point (nr(α/p^{k}) ⊗ nr(p^{k}/α)χ_{p}^{−1}ε^{k}, ε^{k−1}λ) est ordinaire. Par la proposition 5.3.2, il correspond à une forme modulaire surconvergente non-nulle g de poids 2−k et niveau N, de valeur propre de U_{p} égale à α/p^{k−1}, de système de valeurs propres de Hecke égal à ε^{k−1}λ et de caractère de p-composante χ_{p}. On voit que g satisfait les conditions de l’énoncé.

5.5. On énonce maintenant et on commence à démontrer un résultat important de l’article qui est le :

Théorème 5.5.1. — Soit L une extension finie de ℚ_{p}. Si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} , λ) ∈ (Spec A_{c})(L) n’est pas mauvais au sens de la définition 5.4.1, alors on a un isomorphisme :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{λ})

⟶^{∼} Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1},λ}.

On voit que la torsion par | | ⊗ | |^{−1} à droite permet de considérer l’induite parabolique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})^{an} plutôt que l’induite (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} )^{an}. Cet énoncé est essentiellement une conséquence de [21, Lem.4.5.13] et du résultat principal de [23]. Pour la commodité du lecteur, nous donnons maintenant une preuve complète du théorème 5.5.1.

Proposition 5.5.2. — Si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) ∈ (Spec A_{c})(L), il y a un isomorphisme naturel :

(29) J_{B(ℚ_{p})}^{χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1}}(Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ}) ⟶^{∼}

Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} (U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc},
Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M)_{L,an}^{λ}).

Démonstration. — Par [22, Th.3.5.6], on a un isomorphisme :

(30) J_{B(ℚ_{p})}^{χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1}}(Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ}) ⟶^{∼}

Hom_{B(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc}, Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M)_{L,an}^{λ}).

En combinant (30) avec la propriété universelle des produits tensoriels, on a le résultat.

Lorsque (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) n’est pas de poids classique, le théorème 5.5.1 découle immédiatement des propositions 2.1.4 et 5.5.2, du lemme 2.1.2 et de la proposition 5.2.1. Supposons maintenant que (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est de poids classique. Comme on suppose de plus que ce n’est pas un mauvais point de Spec A_{c}, c’est un point classique par la proposition 5.4.3.

Lemme 5.5.3. — Si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) est un point classique qui n’est pas mauvais, alors chaque flèche dans l’image de (29) se factorise par (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2} (vu comme quotient de U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})}(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc} par l’application (2)).

Démonstration. — Les éléments de Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1},λ} sont tous SL_{2}(ℚ_{p})-localement algébriques par le lemme 5.4.2. Comme χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} est de poids classique k, ils sont en fait localement Sym^{k−2}L^{2}-algébriques. Comme X_{−}^{k−1} annule ces vecteurs, l’image de chaque flèche dans l’image de l’isomorphisme (30) est annulée par X_{−}^{k−1}, et donc chaque flèche dans l’image de l’isomorphisme (29) a un noyau qui contient X_{−}^{k−1}(U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lc}). Le résultat découle alors du lemme 2.1.3.

Le lemme 5.5.3 montre que, si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) ∈ (Spec A_{c})(L) est de poids classique k et n’est pas mauvais, alors on a un isomorphisme :

J_{B(ℚ_{p})}^{χ_{2}| |⊗χ_{1}| |^{−1}}(Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an})^{λ} ⟶^{∼}

Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2}, Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ}).

Il n’est pas possible d’obtenir plus d’informations en appliquant la théorie générale des modules de Jacquet au caractère χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} de poids classique k. Pour terminer la preuve du théorème 5.5.1 dans le cas de poids classique k, on doit montrer que la restriction :

(31) Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp}, Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ})

→ Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2}, Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ})

est un isomorphisme (puis utiliser comme précédemment les propositions 2.1.4 et 5.2.1). Lorsque χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} est de pente non critique, c’est-à-dire lorsque |χ_{2}(p)| > |p^{k−1}|, (31) découle du théorème classique de Amice-Vélu et Vishik (cf. le lemme A.2.1 et aussi la preuve de [23, Prop.2.5]). Lorsque χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} est de pente critique (qui est le cas intéressant utilisé dans la suite), (31) découle du résultat suivant, démontré au §5.6 :

Proposition 5.5.4. — Si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) ∈ (Spec A_{c})(L) est un point classique qui n’est pas mauvais et si λ n’est pas Eisenstein, alors tout élément de Hom_{B(ℚ_{p})}((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2}, Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ})s’étend de manière uni-

que en un élément de Hom_{B(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1}, Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ}).

En effet, on observe que l’inclusion :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1} ⊂ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1} )(ℚ_{p})^{lp}

induit une surjection :

U𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) ⊗_{U𝔟(ℚ_{p})} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1} ↠ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp} dont le noyau coïncide avec le noyau de (2). Si λ n’est pas Eisenstein, la proposition 5.5.4 entraîne alors que (31) est un isomorphisme. Si λ est Eisenstein, le point classique (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) de poids k provient nécessairement d’une série d’Eisenstein. Cette série d’Eisenstein est soit ordinaire, mais alors on n’est pas dans le cas critique, soit de pente k − 1. Mais une telle série d’Eisenstein est toujours dans l’image de θ^{k−1}. Ce cas est donc impossible par la proposition 5.4.4 lorsque (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) n’est pas mauvais.

5.6. On montre la proposition 5.5.4.

En faisant agir 𝕋 via le système de valeurs propres λ, on munit (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1} d’une structure de module de Hecke. La dérivation k−1 fois induit un isomorphisme naturel :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1}/(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2}

⟶^{∼} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc}.

Supposons donné un morphisme B(ℚ_{p})-équivariant :

(32)  (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2} → Ĥ_{c}^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ},

et considérons le diagramme cartésien de B(ℚ_{p})-représentations avec une action équivariante de Hecke :

0  0 ↓  ↓ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2}  ⟶^{(32)}  Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an} ↓  ↓ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1} ⟶  E ↓  ↓ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1}⊗χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc} ≡ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1}⊗χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc} ↓  ↓ 0  0.

Comme l’espace (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc} est muni de sa topologie localement convexe la plus fine, on voit que la suite exacte verticale de droite est scindée en tant que suite exacte d’espaces vectoriels topologiques. Donc E est un L-espace vectoriel localement convexe de type compact. Par hypothèse, le système de valeurs propres λ n’est pas Eisenstein. De plus, 𝔟(ℚ_{p}) agit sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1}⊗χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc} par la dérivée du caractère χ_{2}z^{1−k}⊗ χ_{1}z^{k−1} de B(ℚ_{p}). Le corollaire 5.1.3 implique alors que la surjection :

(33)  E ↠ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc}

est scindée comme application de 𝔟(ℚ_{p})-modules, donc aussi comme application de B(ℤ_{p})-modules.

Notons U (resp. V, resp. W) le sous-espace fermé de Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L,an}^{N(ℤ_{p})} (resp. de

E^{N(ℤ_{p})}, resp. de ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc})^{N(ℤ_{p})}) sur lequel T(ℤ_{p}) agit par le caractère χ_{2} | | z^{1−k} ⊗ χ_{1} | |^{−1} z^{k−1}. Comme la surjection (33) est scindée comme application de B(ℤ_{p})-représentations, on a encore une suite exacte de L-espaces vectoriels de type compact :

(34)  0 → U → V → W → 0.

Les opérateurs de Hecke π_{t} pour t ∈ T(ℚ_{p})^{+} et l’algèbre de Hecke 𝕋 agissent sur U, V, W et les morphismes dans la suite exacte sont équivariants pour ces actions. Par [22, Lem.3.5.2] le L-espace vectoriel J_{B(ℚ_{p})}((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc}) est la représentation de dimension 1 de T(ℚ_{p}) donnée par le caractère χ_{2} | | z^{1−k} ⊗ χ_{1} | |^{−1} z^{k−1} et il s’identifie par (27) à :

((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc})^{N(ℤ_{p}),T(ℚ_{p})^{+}=χ_{2}| |z^{1−k}⊗χ_{1}| |^{−1}z^{k−1}}.

Notons W_{0} cet espace de dimension 1 et V_{0} l’image inverse de W_{0} dans V. La suite exacte (34) induit une suite exacte 0 → U → V_{0} → W_{0} → 0. D’après la preuve de [22, Prop.4.2.33], l’action de π_{℘} induit un opérateur compact sur U, et aussi sur V_{0} puisque W_{0} est de dimension 1. La théorie des opérateurs compacts entraîne alors que le sous-espace caractéristique de V_{0} pour (T(ℚ_{p})^{+} = χ_{2} | | z^{1−k} ⊗ χ_{1} | |^{−1} z^{k−1}, 𝕋 = λ) est de dimension finie, et donc que tout sous-espace de cet espace qui est stable par T(ℚ_{p})^{+} et 𝕋 contient un vecteur propre non-nul pour (T(ℚ_{p})^{+} = χ_{2} | | z^{1−k} ⊗ χ_{1} | |^{−1} z^{k−1}, 𝕋 = λ). Comme (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) n’est pas un mauvais point par hypothèse, cet espace caractéristique est donc d’intersection nulle avec U. Il est par suite isomorphe à W_{0} et coïncide aussi avec l’espace propre pour (T(ℚ_{p})^{+} = χ_{2} | | z^{1−k} ⊗ χ_{1} | |^{−1} z^{k−1}, 𝕋 = λ). Par la formule d’adjonction de [22, Th.3.5.6], on en déduit une section de (33) de la forme :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})(ℚ_{p})^{lc} ↪ E^{λ} ⊂ E

d’où on tire facilement la proposition 5.5.4.

Remarque 5.6.1. — La preuve du théorème 5.5.1 donnée ici dans le cas de poids classique est différente de celle donnée dans [21, Lem.4.5.13]. Dans loc.cit., on ne montre pas directement que (31) est un isomorphisme. À la place, on montre le théorème 5.5.1 � pour tous les poids à la fois � et on utilise de façon cruciale les propriétés géométriques de la surface de Hecke. On peut résumer la situation en disant que l’on y démontre que (31) est un isomorphisme par passage à la limite à partir des poids non-classiques. Ici, on travaille plutôt poids par poids et la géométrie de la surface de Hecke est remplacée par le résultat de la proposition 5.1.2.

Remarque 5.6.2. — En utilisant la proposition 5.1.2 au lieu du corollaire 5.1.3 dans le cas critique, on démontre par les mêmes méthodes que, si (χ_{2} | | ⊗χ_{1} | |^{−1}, λ) n’est pas mauvais (où � mauvais � est ici défini comme au §5.4 mais avec le faisceau d’algèbres A, et pas A_{c}, agissant sur le faisceau cohérent associé au module de Jacquet de Ĥ^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}), alors tout élément de :

Hom_{B(ℚ_{p})}((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−2}, Ĥ^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ})

s’étend de manière unique en un élément de :

Hom_{B(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1}, Ĥ^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ})

puis que tout élément de :

Hom_{𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p})}((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤k−1}, Ĥ^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ})

s’étend de manière unique en un élément de :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}, Ĥ^{1}(K_{p}^{1}(M))_{L,an}^{λ}).

Noter qu’il n’y a pas besoin ici de l’hypothèse � λ non Eisenstein � dans l’analogue de la proposition 5.5.4.

Remarque 5.6.3. — Notons que la proposition 5.4.4 est encore valable si l’on définit � mauvais � en termes de A plutôt que A_{c} (cf. remarque précédente). La raison en est que, même si l’analogue de la proposition 5.1.1 ne marche pas avec H^{1} au lieu de H_{c}^{1}, il marche encore à condition de se restreindre aux parties ordinaires (pour l’action de U_{p} sur la source et l’action de pπ_{℘} sur le but). On aurait pu ainsi tout aussi bien travailler avec H^{1} plutôt que H_{c}^{1}.

5.7. On démontre maintenant le résultat principal de l’article qui est une version faible de la conjecture 3.3.2.

Pour toute représentation continue H de Gal(\overline{ℚ}/ℚ), on note H^{±} les espaces propres de H sous l’action d’une conjugaison complexe dans Gal(\overline{ℚ}/ℚ).

Lemme 5.7.1. — Soit f une forme parabolique de niveau N = Mp^{r} nouvelle en M comme au §3.2. On a :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}((Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗_{L}π_{p}(f), Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±}) ≃ L.

Démonstration. — Par [21, §4.3], le terme de gauche s’identifie à :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}((Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗π_{p}(f), (Sym^{k−2}L^{2})^{∨}⊗ H_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M), V_{k−2})^{f,±})

qui est isomorphe à Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(π_{p}(f), H_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M), V_{k−2})^{f,±}) ≃ L.

On fixe f une forme parabolique nouvelle de niveau N = Mp^{r} comme au §3.3 et on conserve les notations du §3.3. Rappellons que, par définition (cf. §2.3) :

(i) si σ_{p}(f) ≃ (\begin{matrix}η_{1} & 0 \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}), alors :

B(σ_{p}(f)) =^{déf} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} ⊕ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}},

(ii) si σ_{p}(f) ≃ (\begin{matrix}η_{1} & ∗ \\ 0 & η_{2}ε^{−1} \end{matrix}) avec ∗ ≠ 0, alors B(σ_{p}(f)) est une extension non

scindée :

0 → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} → B(σ_{p}(f)) → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}} → 0,

cette extension s’identifiant au complété unitaire universel B de l’induite parabolique localement analytique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})^{an} (théorème 2.2.2). On pose dans

la suite B_{1} =^{déf} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{2} ⊗ η_{1})^{C^{0}} et B_{2} =^{déf} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}}. Notons

que B_{2} est aussi le complété unitaire universel de l’induite localement analytique (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})^{an} = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{an} (voir preuve du théorème 2.2.2). Rappelons enfin que Π_{p}(f) est par définition la composante σ(f)-isotypique de Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} ou de Ĥ^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L} (§3.3).

Théorème 5.7.2. — On a σ_{p}(f) scindée si et seulement si Π_{p}(f) contient la représentation B_{2} = (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}η_{1}ε ⊗ η_{2}ε^{−1})^{C^{0}}.

Démonstration. — Quitte à tordre par un caractère de Dirichlet de conducteur une puissance de p et à remplacer f par la forme nouvelle � sous-jacente � au tordu de f, on peut supposer χ_{1}z^{k−2} non-ramifié et soit r = 0, soit r > 0 et f de pente nulle. Si r = 0 (resp. r > 0), on dit que f(z) − β_{p}f(pz) (resp. f |_{w_{p^{r}}}) est la forme de pente k − 1 associée à f (avec les notations du §4.1). Supposons σ_{p}(f) non scindée. Par la proposition 5.4.4 et la même preuve que dans [30, Prop.11], on voit que le point de Spec A_{c} correspondant à la forme de pente k − 1 associée à f n’est pas mauvais (définition 5.4.1). Par le théorème 5.5.1, on en déduit que Π_{p}(f) ne contient pas (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})^{an} et donc a fortiori B_{2}. Supposons

σ_{p}(f) scindée et posons W =^{déf} Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B_{2}, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(N))_{L}^{f}) c’est-à-dire :

W = Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}z^{k−1} ⊗ χ_{2}z^{1−k})^{an}, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(N))_{L}^{f}).

Par les théorèmes 4.3.3 et 4.4.8, la forme de pente k − 1 associée à f est dans l’image de θ^{k−1} d’où on déduit que W est non-nul par le théorème 5.5.1 appliqué à la forme g telle que f(z) − β_{p}f(pz) = θ^{k−1}(g) (resp. f |_{w_{p^{r}}} = θ^{k−1}(g)). Par [21, §4], le théorème 5.5.1 et la proposition 5.2.1, W est un L-espace vectoriel de dimension finie. Il est muni d’une action continue de Gal(\overline{ℚ}/ℚ) déduite de l’action sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)). Toute sous-représentation absolument irréductible non-nulle de W est nécessairement isomorphe à σ(f) par les relations d’Eichler-Shimura sur Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M)) ⊗ L et un argument bien connu dû à Mazur (voir [38, p.115]). On a donc σ(f) ↪^{ι} W d’où une application GL_{2}(ℚ_{p})-équivariante B_{2} → Π_{p}(f), x ↦ (v ↦ ι(v)(x)) (où v ∈ σ(f)). Cette application est une injection fermée car B_{2} est topologiquement irréductible et car les GL_{2}(ℚ_{p})-Banach B_{2} et Π_{p}(f) sont admissibles.

Théorème 5.7.3. — Si σ_{p}(f) est non scindée, alors il existe une unique (à multiplication près par une constante non-nulle) injection fermée GL_{2}(ℚ_{p})-équiva-riante B(σ_{p}(f)) ↪ Π_{p}(f).

Démonstration. — Quitte à tordre, on se ramène à la situation de la preuve du théorème 5.7.2. On a alors vu que, si σ_{p}(f) est non scindée, le point de Spec A_{c} correspondant à la forme de pente k − 1 associée à f n’est pas mauvais. La suite exacte courte 0 → B_{1} → B → B_{2} → 0 induit une suite exacte :

0 → Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B_{2}, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±}) → Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±})

→ Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B_{1}, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±}).

Le premier terme est nul par le théorème 5.7.2 et le dernier de dimension 1 par la proposition 2.2.1 et le lemme 5.7.1. Mais celui du milieu est non-nul par ce qui précède et les théorèmes 2.2.2 et 5.5.1. On a donc un isomorphisme :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±}) →^{∼} Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B_{1}, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±}) ≃ L.

De plus, le morphisme correspondant B → Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±} est une injection fermée. En effet, il est injectif par le théorème 2.2.2 et le fait que l’application induite sur le sous-objet B_{1} est non-nulle, et c’est une application fermée car les deux GL_{2}(ℚ_{p})-Banach B et Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f,±} sont admissibles. On en déduit Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f}) ≃ L^{2} ≃ σ(f) (par Eichler-Shimura) d’où avec la proposition 3.2.3 :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B, Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)}(σ(f), Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f})) = Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B, Π_{p}(f)) ≠ 0.

On a aussi une injection :

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B, Π_{p}(f)) ↪ Hom_{Gal(\overline{ℚ}/ℚ)}(σ(f), Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})}(B, Ĥ_{c}^{1}(K_{1}^{p}(M))_{L}^{f})) ≃ L
F ↦ (v ↦ (x ↦ F (x)(v))

d’où le résultat.

Corollaire 5.7.4. — La représentation Π_{p}(f) contient toujours B(σ_{p}(f)) comme sous-représentation fermée.

Appendice A

Preuve de la proposition 2.1.4

A.1. Commençons par quelques préliminaires topologiques. Soit (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗

χ_{2})(ℚ_{p})^{an} (resp. (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℤ_{p})^{an}) le sous-espace fermé de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗ χ_{2})^{an} des fonctions localement analytiques f : ℚ_{p} → L (cf. §2.1) qui sont à support compact (resp. à support dans ℤ_{p}). Il est stable par (𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p})) (resp. (𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p})^{+})) et l’application naturelle :

(35) L[N(ℚ_{p})] ⊗_{L[N(ℤ_{p})]} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an} → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}

est un isomorphisme. On note aussi (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp} et (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗

χ_{2})(ℤ_{p})^{lp,≤d} les sous-espaces fermés de(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℚ_{p})^{lp}et(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp,≤d} formés des fonctions à support dans ℤ_{p}. Ce sont encore des sousespaces stables par (𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p})^{+}) et les applications analogues à (35) sont des isomorphismes.

Si r ≥ 1, on note (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} l’espace de Banach des fonctions

localement analytiques sur ℤ_{p} et analytiques sur chaque disque fermé D(z, r) =^{déf} \{x ∈ \overline{ℚ}_{p} | ∥x − z∥ ≤ |p^{r}|\} pour tout z ∈ ℤ_{p}. Si O(D(z, r)) désigne l’espace de Banach des fonctions rigides analytiques sur D(z, r) à valeurs dans L, il y a un isomorphisme topologique naturel :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} ⟶^{∼} ⊕_{z∈ℤ_{p}/p^{r}}O(D(z, r))

(attention : la topologie sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} induite par (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an} est plus grossière que la topologie ci-dessus d’espace de Banach). Si l’on choisit r_{0} ≥ 1 de telle sorte que χ_{2}χ_{1}^{−1} est analytique sur 1 + p^{r_{0}}ℤ_{p}, on voit que (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} est stable par K_{p}(r) dans (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℤ_{p})^{an} pour tout r ≥ r_{0} (voir §3.1 pour K_{p}(r)). De plus, on vérifie facilement que l’action de K_{p}(r) est continue pour la topologie d’espace de Banach de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an}. En fait, on a plus : si 𝕂_{p}(r) désigne le sous-groupe affinoïde du groupe algébrique GL_{2} sur ℚ_{p} défini par les conditions |a − 1|, |b|, |c|, |d − 1| ≤ |p^{r}|, alors K_{p}(r) est le groupe des ℚ_{p}-points de 𝕂_{p}(r), et l’action de K_{p}(r) est en fait induite par une action rigide analytique de 𝕂_{p}(r) sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} (l’action de K_{p}(r) est � 𝕂_{p}(r)-analytique � au sens de [25]). En particulier, on peut différentier cette action pour obtenir une action de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} (pour r ≥ r_{0}). L’application naturelle :

(36)  lim_{\overrightarrow{r≥r_{0}}} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} ⟶ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an}

est alors un isomorphisme topologique 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-équivariant.

Pour d ≥ 0 et r ≥ 1, on pose :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp,≤d}

=^{déf} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} ⋂ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp,≤d},

et :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp} =^{déf} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} ⋂(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp}
= ⋃_{d≥0} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp,≤d}.

Chacun des espaces (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp,≤d} est de dimension finie et leur

réunion est dense dans (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} (pour sa topologie de Ba-

nach). Si d est suffisamment grand, alors (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp,≤d} engendre

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp} comme 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-module (en fait, si χ_{1} ⊗ χ_{2} n’est pas de poids classique, tout d ≥ 0 convient, mais si χ_{1} ⊗ χ_{2} est de poids classique k ≥ 2, il faut prendre d ≥ k − 1, cf. le lemme 2.1.2 et le lemme 2.1.3).

On reprend maintenant le GL_{2}(ℚ_{p})-Banach V de la proposition 2.1.4. Pour r ≥ 1, soit V_{𝕂_{p}(r)−an} le sous-espace de V des vecteurs v tels que l’application � orbite � : g → g · v, lorsque restreinte à K_{p}(r), est (la restriction à K_{p}(r) d’) une fonction rigide analytique sur 𝕂_{p}(r) à valeurs dans V. Si O(𝕂_{p}(r), V) est l’espace de Banach des fonctions rigides analytiques sur 𝕂_{p}(r) à valeurs dans V, alors la flèche qui envoie v ∈ V_{𝕂_{p}(r)−an} sur son application orbite identifie V_{𝕂_{p}(r)−an} à un sous-espace fermé de O(𝕂_{p}(r), V) ([25, Prop.3.3.3]). On munit V_{𝕂_{p}(r)−an} de la topologie de Banach induite par celle de O(𝕂_{p}(r), V) (qui est plus fine que la topologie induite par le Banach V). On a alors un isomorphisme topologique

lim_{\overrightarrow{r}} V_{𝕂_{p}(r)−an} ⟶^{∼} V_{an}.

Remarque A.1.1. — On utilise ici la définition des vecteurs localement analytiques donnée dans [25, Def.3.5.3] qui diffère de celle de [46] : les deux définitions donnent le même espace sous-jacent V_{an}, mais la topologie de V_{an} définie dans [25] est en général plus fine que celle définie dans [46] (cf. [25, Th.3.5.7]). On démontrera la proposition 2.1.4 lorsque V_{an} est muni de la topologie de [25], ce qui implique immédiatement l’énoncé correspondant lorsque V_{an} est muni de la topologie plus grossière de [46]. Notons que, dans les applications, V sera toujours un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach (unitaire) admissible, et dans ce cas les deux topologies sur V_{an} sont alors les mêmes (utiliser [25, Prop.6.2.4] et [46, Th.7.1]).

A.2. On démontre la proposition 2.1.4. On conserve les notations du §A.1.

Lemme A.2.1. — La restriction :

(37) Hom_{B(ℚ_{p})^{+}} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an}, V )

→ Hom_{B(ℚ_{p})^{+}} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp}, V )

est un isomorphisme.

Démonstration. — Puisque (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp} est dense dans l’espace

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an}, toute application linéaire continue :

(38)  (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an} → V

est nulle (resp. est B(ℚ_{p})^{+}-équivariante) si et seulement s’il en est de même de sa restriction à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})(ℤ_{p})^{lp}. Il suffit donc de montrer que tout élément dans l’image de (37) s’étend en une application linéaire continue (38). Si f(X) ∈ ℚ_{p}[X], notons ||f(X)|| le sup des valeurs absolues p-adiques de ses coefficients. Notons ||–||_{V} une norme sur V donnant sa topologie de Banach. On choisit ||–||_{V} invariante sous N(ℤ_{p}) (ce qui est possible car N(ℤ_{p}) est compact). Soit A > 0 tel que ||℘v||_{V} ≤ A||v||_{V} pour tout v ∈ V où ℘ =^{déf} (\begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}). Soit ϕ dans l’image de (37) et, pour chaque d ≥ 0, soit C(d) > 0 tel que ||ϕ(f(X))||_{V} ≤ C(d)||f(X)|| pour les f(X) de degré au plus d. Pour chaque z ∈ ℤ_{p} et r ≥ 0, on a (cf. (1)) :

f(\frac{X−z}{p^{r}})|_{z+p^{r}ℤ_{p}} = χ_{2}(p)^{−r} (\begin{matrix}1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix}) ℘^{r} · f(X).

En utilisant l’invariance sous B(ℚ_{p})^{+} de ϕ, on obtient :

||ϕ(f(\frac{X−z}{p^{r}}))||_{V} = |χ_{2}(p)|^{−r}|| (\begin{matrix}1 & z \\ 0 & 1 \end{matrix}) ℘^{r} · ϕ(f(X))||_{V}

≤ (|χ_{2}(p)|^{−1}A)^{r}||ϕ(f(X))||_{V} ≤ (|χ_{2}(p)|^{−1}A)^{r}C(d)||f(X)||.

Soit h tel que |χ_{2}(p)|^{−1}A ≤ |p^{−h}|, on voit que, pour chaque d ≥ 0, la restriction de ϕ à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp,≤d} est tempérée d’ordre ≤ h. Par le théorème d’Amice-Vélu ([1]) et Vishik ([47]), si d > h − 1 la restriction s’étend de manière unique en une application linéaire continue ϕ̃_{d} : (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an} → V

qui est tempérée d’ordre ≤ h. L’unicité montre alors que l’extension ϕ̃_{d} ne dépend pas du choix de d > h − 1 et définit l’extension cherchée de ϕ à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an}.

Lemme A.2.2. — La restriction :

Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}, V_{an})

→ Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{lp}, V_{an})

est un isomorphisme.

Démonstration. — Comme la flèche (35) et son analogue en remplaçant � an � par � lp � sont des isomorphismes et comme B(ℚ_{p})^{+} engendre le groupe B(ℚ_{p}), il suffit de montrer que la restriction :

(39) Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p})^{+})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{an}, V_{an})

→ Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p})^{+})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp}, V_{an})

est un isomorphisme. Compte tenu du lemme A.2.1, il suffit de montrer que si ϕ : (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℤ_{p})^{an} → V est une application continue dont la restriction ϕ^{lp} à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp} se factorise comme le composé d’une application continue 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-équivariante (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})^{lp} → V_{an} avec l’injection naturelle V_{an} → V, alors ϕ admet aussi une factorisation analogue. Soit r ≥ r_{0}, ϕ_{r} la restriction de ϕ à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} et d un entier assez grand pour que (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp,≤d} engendre (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} sous 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}). Comme (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp,≤d} est de dimension finie, son image par ϕ^{lp} dans V_{an} est de dimension finie et tombe donc dans V_{𝕂_{p}(s)−an} pour un s ≥ r. Comme ϕ^{lp} est 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-équivariant et V_{𝕂_{p}(s)−an} est stable par 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), on voit que l’image de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp} tombe encore dans V_{𝕂_{p}(s)−an}. Considérons maintenant l’application continue :

Φ : K_{p}(s) × (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} → V
(g, f) ↦ ϕ_{r}(g · f) − g · ϕ_{r}(f).

Soit f ∈ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp}, alors l’application g ↦ Φ(g, f) est (la restriction à K_{p}(s) d’) une fonction rigide analytique sur 𝕂_{p}(s) (car l’action de K_{p}(s) sur f et ϕ_{r}(f) provient d’une action rigide analytique de 𝕂_{p}(s)). De plus, toutes ses dérivées sont nulles car ϕ^{lp} est 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-équivariant. On voit donc que Φ est nul sur K_{p}(s) × (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{lp}. Mais cet espace est dense dans K_{p}(s) × (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an}, donc Φ est identiquement nul et l’application ϕ_{r} est K_{p}(s)-équivariante. Comme l’action de K_{p}(s) sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} est 𝕂_{p}(s)-rigide analytique, on voit que ϕ_{r} se factorise par une application continue K_{p}(s)-équivariante :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} → V_{𝕂_{p}(s)−an},

et donc en particulier par une application continue 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-équivariante :

(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℤ_{p})_{r}^{an} → V_{an}.

Passant à la limite inductive sur r ≥ r_{0} et utilisant (36), on obtient le résultat.

Lemme A.2.3. — Soit f ∈ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} et g ∈ GL_{2}(ℚ_{p}) tels

que g · f est encore dans (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}, alors pour tout élément ϕ de

Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}, V_{an}), on a ϕ(g · f) = g · ϕ(f).

Démonstration. — Soit Ω ⊂ ℚ_{p} le support de f. Il suffit de montrer que, pour tout z ∈ Ω et tout voisinage ouvert compact Ω_{z} ⊂ Ω de z, on a :

(40)  ϕ(g · (f_{|Ω_{z}})) =^{?} g · ϕ(f_{|Ω_{z}}).

Fixons z ∈ Ω et n =^{déf} (\begin{matrix}1 & −z \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∈ N(ℚ_{p}) (donc z est le translaté par n du point 0 ∈ ℚ_{p}, cf. (1)). Comme le support de g · f est contenu dans ℚ_{p} par hypothèse, l’image de z par g vit dans ℚ_{p} et donc ng^{−1} envoie 0 ∈ ℚ_{p} vers un point de ℚ_{p}. On peut donc écrire :

ng^{−1} = \overline{n}^{−1}b^{−1}

pour un \overline{n} ∈ \overline{N}(ℚ_{p}) et un b ∈ B(ℚ_{p}). Par l’invariance de ϕ sous B(ℚ_{p}), on obtient pour tout voisinage ouvert compact Ω_{z} ⊂ Ω de z :

ϕ(g · (f_{|Ω_{z}})) = ϕ(b\overline{n}n · (f_{|Ω_{z}})) = b · ϕ(\overline{n}n · (f_{|Ω_{z}}))
g · ϕ(f_{|Ω_{z}}) = b\overline{n}n · ϕ(f_{|Ω_{z}}) = b\overline{n} · ϕ(n · (f_{|Ω_{z}})).

Quitte à remplacer f par n · f et z par 0, on est donc ramené à montrer que, pour \overline{n} ∈ \overline{N}(ℚ_{p}) et Ω_{0} un voisinage suffisamment petit de 0 dans Ω, on a :

(41)  ϕ(\overline{n} · f) =^{?} \overline{n} · ϕ(f).

Fixons r tel que f est analytique sur D(0, r) et s ≥ r suffisamment grand pour avoir ϕ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℚ_{p})_{r}^{an})) ⊂ V_{𝕂_{p}(s)−an} (un tel s existe car (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗ χ_{2})(ℚ_{p})_{r}^{an} est un espace de Banach et V_{an} est réunion des Banach V_{𝕂_{p}(s)−an}, cf. [6, Prop.1 p.I.20] par exemple). Soit t_{0} ≥ 0 tel que ℘^{−t_{0}} \overline{n}℘^{t_{0}} ∈ K_{p}(s) ∩ \overline{N}(ℚ_{p}) (rappelons que ℘ = (\begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})), on a aussi pour tout t ≥ t_{0} :

(42)  ℘^{−t}\overline{n}℘^{t} ∈ K_{p}(s) ∩ \overline{N}(ℚ_{p})

et notons que (℘^{−t} · f)_{|p^{r}ℤ_{p}} ∈ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})_{r}^{an} pour t ≥ 0. Comme

l’action de K_{p}(s) sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})_{r}^{an} et V_{𝕂_{p}(s)−an} provient d’une action rigide analytique de 𝕂_{p}(s) et comme ϕ est 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p})-équivariant, on obtient :

(43)  ϕ(k · f′) = k · ϕ(f′)

pour tout k ∈ K_{p}(s) et f′ ∈ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})_{r}^{an}. Un calcul donne alors pour t ≥ t_{0} :

ϕ(\overline{n} · f_{|p^{r+t}ℤ_{p}}) = ℘^{t}℘^{−t} · ϕ(\overline{n}℘^{t} · (℘^{−t} · f)_{|p^{r}ℤ_{p}}) = ℘^{t} · ϕ(℘^{−t}\overline{n}℘^{t} · (℘^{−t} · f)_{|p^{r}ℤ_{p}})
= ℘^{t}(℘^{−t}\overline{n}℘^{t}) · ϕ((℘^{−t} · f)_{|p^{r}ℤ_{p}}) = \overline{n} · ϕ(℘^{t}(℘^{−t} · f)_{|p^{r}ℤ_{p}})
= \overline{n} · ϕ(f_{|p^{r+t}ℤ_{p}})

où les deuxième et quatrième égalités découlent de la B(ℚ_{p})-équivariance de ϕ et la troisième de (43) et (42). On obtient bien (41) pour Ω_{0} = p^{r′}ℤ_{p} avec r′ ≥ r + t.

Lemme A.2.4. — La restriction :

(44) Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}, V_{an})

→ Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}, V_{an})

est un isomorphisme.

Démonstration. — Comme (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} engendre (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} sous GL_{2}(ℚ_{p}), l’application (44) est injective. On doit montrer sa surjectivité. Munissons L[GL_{2}(ℚ_{p})] de sa topologie localement convexe la plus fine et considérons le produit tensoriel L[GL_{2}(ℚ_{p})]⊗_{L}(Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})(ℚ_{p})^{an} muni de sa topologie produit tensoriel inductive (cet espace est isomorphe à une somme directe de copies de (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} indexées par les éléments de GL_{2}(ℚ_{p}) et cette topologie n’est autre que la topologie somme directe). L’inclusion (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} ↪ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} induit une application continue GL_{2}(ℚ_{p})-équivariante :

(45) L[GL_{2}(ℚ_{p})] ⊗_{L} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} → (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}.

Si w =^{déf} (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℚ_{p}), on a une immersion fermée :

(46) (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} ⊕ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}

↪ L[GL_{2}(ℚ_{p})] ⊗_{L} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}

définie par (f_{1}, f_{2}) ↦ 1 ⊗ f_{1} + w ⊗ f_{2}. Comme ℙ(ℚ_{p}) = ℚ_{p} ∪ wℚ_{p}, le composé de (45) et (46) est une surjection continue. Comme son but et sa source sont de plus des espaces localement convexes de type compact, le théorème de l’image ouverte entraîne qu’il s’agit d’une surjection topologique. Il en est donc de même de (45). Puisque V_{an} est muni d’une action continue de GL_{2}(ℚ_{p}), toute application linéaire continue ϕ : (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} → V_{an} induit une application continue GL_{2}(ℚ_{p})-équivariante :

Φ : L[GL_{2}(ℚ_{p})] ⊗_{L} (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} → V_{an}.

Nous allons montrer que, si ϕ est de plus (𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p}))-équivariant, alors le noyau de Φ contient le noyau de (45). Comme (45) est une surjection topologique, cela montrera que Φ se factorise par une application continue GL_{2}(ℚ_{p})- équivariante \overline{Φ} : (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})^{an} → V_{an} dont la restriction à (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an} coïncide avec ϕ (et \overline{Φ} sera un antécédent de ϕ, d’où la surjectivité voulue). Soit donc ϕ ∈ Hom_{(𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}),B(ℚ_{p}))} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}, V_{an}) et g_{1} ⊗ f_{1} + ⋯ + g_{r} ⊗ f_{r} un élément dans le noyau de (45) où g_{i} ∈ GL_{2}(ℚ_{p}), f_{i} ∈ (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})(ℚ_{p})^{an}. On a donc dans (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an} :

(47)  ∑_{i=1}^{r} g_{i} · f_{i} = 0

et on doit montrer que :

(48)  ∑_{i=1}^{r} g_{i} · ϕ(f_{i}) =^{?} 0.

Il suffit de montrer que, si z ∈ ℙ(ℚ_{p}) et Ω_{z} est un voisinage ouvert suffisamment petit de z dans ℙ(ℚ_{p}), alors :

(49)  ∑_{i=1}^{r} g_{i} · ϕ(f_{i|Ω_{z}g_{i}^{−1}}) =^{?} 0

(on peut en effet écrire ℙ(ℚ_{p}) = ∐_{j=1}^{s} Ω_{z_{j}}, f_{i} = ∑_{j=1}^{s} f_{i|Ω_{z_{j}} g_{i}^{−1}} et on a bien alors :

∑_{i=1}^{r} g_{i} · ϕ(f_{i}) = ∑_{i=1}^{r} ∑_{j=1}^{s} g_{i} · ϕ(f_{i|Ω_{z_{j}} g_{i}^{−1}}) = ∑_{j=1}^{s} ∑_{i=1}^{r} g_{i} · ϕ(f_{i|Ω_{z_{j}} g_{i}^{−1}}) = 0).

Soit g = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ GL_{2}(ℚ_{p}) tel que \frac{dz−b}{−cz+a} = 0, quitte à remplacer g_{1} ⊗ f_{1} + ⋯ + g_{r} ⊗ f_{r} par g_{1}g^{−1} ⊗ f_{1} + ⋯ + g_{r}g^{−1} ⊗ f_{r}, il suffit de traiter le cas z = 0. Si 0 n’est pas dans le support de g_{i} ·f_{i}, alors on peut supposer de même pour Ω_{0} (quitte à le rapetisser) et le i-ième terme dans (49) est déjà nul. On peut donc supposer que 0 est dans le support de chaque g_{i} · f_{i}, que Ω_{0} est à support dans ℚ_{p} et donc que chaque g_{i} · f_{i} est aussi à support dans ℚ_{p} (puisque l’on ne regarde que f_{i|Ω_{0}g_{i}^{−1}}). Le lemme A.2.3 entraîne alors avec (47) :

∑_{i=1}^{r} g_{i}·ϕ(f_{i|Ω_{0}g_{i}^{−1}}) = ∑_{i=1}^{r} ϕ(g_{i}·(f_{i|Ω_{0}g_{i}^{−1}})) = ∑_{i=1}^{r} ϕ((g_{i}·f_{i})_{|Ω_{0}}) = ϕ((∑_{i=1}^{r} g_{i}·f_{i})_{|Ω_{0}})=0.

La proposition 2.1.4 découle des lemmes A.2.2 et A.2.4 et de l’isomorphisme

Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})^{an}, V_{an}) →^{∼} Hom_{GL_{2}(ℚ_{p})} ((Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1}⊗χ_{2})^{an}, V ).

Remarque A.2.5. — La preuve précédente de la proposition 2.1.4 est la spécialisation au cas considéré des arguments de [23] et est assez analogue à la preuve de [24, Prop.2.5] : les lemmes A.2.1 et A.2.2 correspondent à [24, Lem.3.23] et les lemmes A.2.3 et A.2.4 à [24, Lem.3.1]. La différence clef est la suivante : dans le contexte de [24, Prop.2.5], on suppose que χ_{1} ⊗ χ_{2} est de poids classique k et de pente non critique (i.e. |χ_{1}(p)| > |p^{k−2}|), et aussi que V est un GL_{2}(ℚ_{p})-Banach unitaire. Cela permet de se restreindre à d = k−2 dans la preuve du lemme A.2.1. De plus, l’espace (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗χ_{2})^{lp,≤k−2} est GL_{2}(ℚ_{p})-invariant (pas seulement (𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}), B(ℚ_{p}))-invariant). Cela permet d’énoncer et de démontrer un résultat qui évite de considérer les vecteurs localement analytiques dans V et l’action de 𝔤𝔩_{2}(ℚ_{p}) sur (Ind_{B(ℚ_{p})}^{GL_{2}(ℚ_{p})}χ_{1} ⊗ χ_{2})^{an}.

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C. Breuil, C.N.R.S. & I.H.É.S., Le Bois-Marie, 35 route de Chartres, 91440 Bures-sur-

Yvette, France • E-mail : breuil@ihes.fr M. Emerton, Mathematics Department, Northwestern University, 2033 Sheridan Road,

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